... matemático

A partir da década de 50 o esforço na direção de uma construção mais rigorosa da teoria culminou no que ficou conhecido como teoria axiomática [1].

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...$\vec{n}$

Os sítios na rede são indexados pelos vetores $\vec{n}\equiv(n_1,...,n_d)$, onde cada $n_{\mu}$ é um número inteiro que varia de 1 a N.

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... analiticamente

A dedução dos resultados apresentados neste capítulo está detalhada na referência [9]. No âmbito desta tese nos restringimos apenas a reportar os resultados básicos necessários para cálculos futuros.

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... rede

Por simplicidade de apresentação estamos desconsiderando a questão de N ser par ou ímpar. Cada caso pode ser considerado em detalhe, levando aos mesmos resultados finais no limite do contínuo.

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... $\vec{k}=\vec{0}$

Podemos entender as fatorações acima em termos dos diagramas de Feymann. Considere, por exemplo, n=2 e $\vec{k}\not=\vec{0}$. Neste caso existem quatro linhas externas para serem ligadas entre si, duas com momento $\vec{k}$ e duas com momento $-\vec{k}$ (pois para o campo escalar real vale que $\tilde{\varphi}^*(\vec{k})\equiv \tilde{\varphi} (-\vec{k})$). Para haver a conservação do momento total as linhas com momento $\vec{k}$ só podem ser ligadas às linhas com momento $-\vec{k}$; ou seja, duas possibilidades de ligação. Isso pode ser facilmente generalizado para o caso n qualquer, levando aos resultados mencionados. Já para $\vec{k}=\vec{0}$ e n=2 existem três possibilidades de ligação, já que o momento é sempre conservado.

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... Euclidiano

O fato de $\pi$ diferir de $\Delta_0 \varphi$ por um fator imaginário condiz com a sua definição. Para perceber isso basta lembrarmos que classicamente ele está associado a uma derivada temporal e é justamente sobre esta componente que aplicamos a rotação de Wick para irmos do espaço de Euclides para o de Minkowski.

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... variáveis

Este problema não aparecia na teoria clássica onde por construção $\pi=\imath \Delta_0 \varphi$ no espaço Euclidiano. Aqui estamos fazendo uma generalização, assumindo que $\pi$ pode ser uma variável independente de $\imath \Delta_0 \varphi$.

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... a

Neste momento ainda existe um abuso de linguagem ao associarmos os ensembles a partículas, pois ainda não sabemos muito bem o que são estas ``partículas'', uma vez que não identificamos a sua massa nem a sua energia.

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... ação

Na quantização do campo escalar no contínuo temos que o operador número de partículas está relacionado com a Hamiltoniana do sistema ou seja

$${\bf H} \equiv \int {\cal{H}}{\rm d}{\mathbf{x}} \propto \int w_k a^{\dagger}(\mathbf{k})a(\mathbf{k}){\rm d}\mathbf{k}$$

e

$${\cal{N}}\propto \int a^{\dagger} (\mathbf{k}) a(\mathbf{k}) {\rm d}\mathbf{k},$$

onde $w_k=\sqrt{\mathbf{k}^2 + m_0^2}$ e sendo ${\rm d}{\mathbf{x}}$ e ${\rm d}{\mathbf{k}}$ integrais definidas numa superfície espacial. Aqui, como estamos no espaço Euclidiano, a coisa mais natural a se fazer é olhar para as integrais definidas no espaço-tempo quadridimensional, ${\rm d}{\vec{x}}$ e ${\rm d}{\vec{k}}$. Isso é, de certa forma, uma generalização do caso tridimensional porque neste modelo existe invariança translacional e estamos utilizando condições periódicas de contorno.

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... $\vec{k} \not=0$

Para $\vec{k}=0$ temos

$$\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{2n}\rangle=... ...)!!\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^2\rangle^n.$$

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... como

Aqui estamos fazendo na rede a subtração do termo divergente que no contínuo é feita através da ordenação de Wick do operador ${\bf H}$.

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...${\bf H}$

A Hamiltoniana dimensional deve ter a mesma unidade da energia, ou seja, unidade de massa ou o inverso de comprimento. Por outro lado, lembrando que ${\cal H}$ contém uma derivada temporal, pois está relacionado com $\Delta_0 \varphi$, escrevemos ${\bf H}$', a Hamiltoniana dimensional, como ${\bf H}$' $\propto \Delta_0 \varphi /a$, que no limite do contínuo será proporcional a $\partial_0 \varphi$.

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... delas.

Desta maneira estamos efetuando 100.000.000 mudanças nas configurações dos campos para cada um dos observáveis, o que diminui consideravelmente os seus respectivos erros. Por outro lado esta estatítistica só é possível em redes pequenas com os recursos computacionais disponíveis para o projeto. Na análise do limite do contínuo somos, portanto, obrigados a diminuir estes valores.

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Lembremo-nos de que o comportamento crítico só existe no limite do contínuo.

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Como já dissemos, a linha crítica só faz sentido no limite do contínuo e nesta situação $\alpha_R$ deve ser nulo para que $m_R \equiv \sqrt{\alpha_R}/a$ seja finito.

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...$E_{\vec{k},n}$

Nos gráficos apresentados a seguir estaremos considerando por simplicidade $-\imath E_{\vec{k},n}$ ao invés de $E_{\vec{k},n}$.

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... grandes

Como já discutimos anteriormente, esta parte da análise é apenas qualitativa.

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... ordem

Aqui estamos, por simplicidade considerando $N_L\equiv N_T$.

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