Cálculo do Número de Partículas

Partindo da definição de ${\cal{H}}[\pi]$ em (4.1),

$${\cal{H}}[\pi]=-\frac{\imath\pi^2}{2} - \frac{\imath}{2} \sum_i(\Delta_i \varphi)^2 - \frac{\imath \alpha_0}{2} \varphi^2$$

e de ${\cal{L}}[\pi , \varphi]$ em (4.2),

$$\begin{eqnarray*} {\cal{L}}[\pi, \varphi] &=& -\imath \pi \Delta_0 \varphi +\ima... ...}{2} \sum_i (\Delta_i \varphi)^2 + \frac{\alpha_0}{2} \varphi^2, \end{eqnarray*}$$

vamos inicialmente calcular a média da ação nos estados de vácuo e de n partículas. Usando a definição onde $\pi \not=\imath \Delta_0 \varphi$ (4.5) temos, para o estado de vácuo,

$$\begin{eqnarray*} \left\langle S\right\rangle_0^{\pi \not= \imath\Delta_0 \varph... ... \pi] e^{-\frac{1}{2} \sum_s (\pi - \imath \Delta_0 \varphi)²}}, \end{eqnarray*}$$

onde completamos quadrados na ação. Novamente, em analogia ao caso de um observável qualquer ${\cal{O}}$, temos que

$$\left\langle S\right\rangle_0^{\pi \not= \imath \Delta_0 \va... ...+ \left\langle S\right\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi},$$

onde $\chi= \pi - \imath \Delta_0 \varphi$ e o superscrito que aparece no segundo valor esperado indica que ele está sendo tomado no ensemble onde $\pi=\imath \Delta_0 \varphi$.

Agora usando alguns resultados já conhecidos de integração Gaussiana e integrais de resíduos, chegamos a

$$\langle S\rangle_0^{\pi \not= \imath \Delta_0 \varphi}= \fra... ...d-1}N_T}{2} + \langle S\rangle^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}_0$$ (4.7)

e repetindo os cálculos para o estado de n partículas,

$$\langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi \not= \imath \Delta_0 \var... ... + \langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}.$$

Este resultado nos mostra que os dois ensembles diferem por uma quantidade divergente porém constante no limite do contínuo. Podemos portanto calcular somente os observáveis no ensemble onde $\pi=\imath \Delta_0 \varphi$. Para isso vamos para o espaço de momentos onde a ação é diagonalizada, podendo ser escrita como (3.7),

$$S[\tilde{\varphi}]=\frac{N_L^{d-1}N_T}{2} \sum_{\vec{k}}\lef... ...^2 +\alpha_0\right]{\vert \tilde{\varphi_{\vec{k}}} \vert}^2.$$

onde $\rho^2 \equiv \sum_{\mu} \rho_{\mu}^2 \equiv \sum_{\mu}\left[ 2\sin{\frac{\pi k_{\mu}}{N_{\mu}}}\right]^2$. A média da ação é portando obtida, lembrando (3.4), com o uso de

$$\left\langle {\vert \tilde{\varphi}_{\vec{k}} \vert}^2 \righ... ... \frac{1}{\rho_{\vec{k}}^2 + \alpha_0}\frac{1}{N_L^{d-1}N_T},$$

chegando-se portanto ao resultado

$$\langle S\rangle_0^{\pi=\imath\Delta_0 \varphi}=\frac{N_L^{d-1}N_T}{2}.$$ (4.8)

Para o estado de n partículas obtemos analogamente

$$\langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}=\frac{N_L^{d-1}N_T}{2} + n,$$ (4.9)

onde usamos o seguinte resultado para $\vec{q} \not=\pm {\vec{k}}$ e l,m quaisquer:

$$\langle{\vert \tilde{\varphi_{\vec{q}}} \vert}^l {\vert \til... ...rangle \langle{\vert \tilde{\varphi_{\vec{k}}} \vert}^m\rangle$$

e, para $\vec{k} \not=0$

$$\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{2n}\rangle=n!\langle{\vert \tilde{\varphi_{\vec{k}}} \vert}^2\rangle^n.$$

Podemos portanto definir na rede um observável número de partículas ${\cal{N}}$ como

$${\cal{N}} \equiv S - \langle S\rangle_0,$$ (4.10)

de tal forma que

$$\langle{\cal N}\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi} = 0,$$

$$\langle{\cal N}\rangle_{1,\vec{k}}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi} = 1,$$ (4.11)

e assim por diante. Vale salientar que para o campo escalar real e para os ensembles definidos por (4.6) não existe como diferenciar partículas com quadri-momentos iguais em módulo e com direções contrárias, uma vez que elas podem ser consideradas como partículas de cargas contrárias andando com o mesmo momento. O que medimos aqui são partículas ``neutras''que englobam partículas com cargas ``positivas'' e ``negativas''. Temos aqui o primeiro indício da necessidade física de que o modelo contenha o conceito de carga.