Teoria Livre

Utilizando a ação da teoria livre na rede Euclidiana, temos

$$S=\sum_s{\cal L},\mbox{ } {\cal L}=\frac{1}{2}\sum_{\mu}(\Delta_{\mu}\varphi)^2 +\frac{\alpha_0}{2}\varphi^2,$$

onde tanto S quanto ${\cal{L}}$ são adimensionais, sendo ${\cal{L}}$ a densidade Lagrangiana adimensional. A versão canônica da teoria clássica define um momento conjugado ao campo $\varphi$ como

$$\pi_s \equiv \imath \frac{\partial {\cal L}}{\partial \left(\Delta_0 \varphi\right)} = \imath \Delta_0 \varphi$$

onde o fator complexo $\imath$ é adicionado por estarmos trabalhando no espaço-tempo Euclidiano e o índice s expressa o fato que $\pi$ é uma variável de sítio associada ao link 0 que sai de cada sítio, relacionado com a direção temporal. Da definição acima surge a necessidade de separar o índice temporal dos índices espaciais da rede. Assim, de agora em diante as somas d-dimensionais serão expressas por $\sum_{\mu}$ ou $\sum_s$, as somas somente numa superfície espacial por $\sum_{\mathbf{x}}$ ou $\sum_i$ e as variáveis temporais por 0 ou t. A rede terá N_L sítios nas direções espaciais e N_T sítios na direção temporal. Em geral estes dois números serão iguais, mas fica aberta a possibilidade de que sejam diferentes quando isto for necessário para futuras discussões. As direções espaciais terão comprimento L e a direção temporal terá comprimento T. O espaçamento da rede será sempre a, de forma que

$$a = \frac{T}{N_T} = \frac{L}{N_L}.$$

Expressando a ação em termos desta notação temos que

$$S=\sum_t \sum_{\mathbf{x}} {\cal L}, \mbox{ }{\cal L}=\frac{... ...left(\Delta_i \varphi \right)^2 + \frac{\alpha_0}{2} \varphi^2$$

e

$$\pi_s = \imath \Delta_0 \varphi_s.$$

Podemos agora definir uma densidade Hamiltoniana adimensional ${\cal H}$ na rede de maneira que os resultados sejam compatíveis com os resultados no limite do contínuo e as integrais convirjam no espaço Euclidiano. Note que a teoria quântica de campos usual é desenvolvida no espaço de Minkowski, onde as equações de movimento são invariantes por transformações de Lorentz. Porém mesmo lá, para que as integrais funcionais convirjam, é necessário fazer uma rotação de Wick na componente temporal, utilizando o espaço Euclidiano somente para resolver as integrais e depois retornando ao espaço de Minkowski. Como na rede trabalhamos com o espaço Euclidiano todo o tempo, basta descobrir quais definições de S e ${\cal H}$ fazem sentido físico. Vamos manter uma definição compatível com o caso clássico e analisar posteriormente as consequências para a teoria quântica. Assim, ${\cal H}$ será definido classicamente na rede como

$$\begin{eqnarray*} {\cal H} &\equiv& \pi \Delta_0\varphi - \imath {\cal L}\\ & =... ...Delta_i \varphi \right)}^2 - \frac{\imath \alpha_0}{2} \varphi^2 \end{eqnarray*}$$

ou, em termos de $\pi$ e $\varphi$ somente,

$${\cal H}[\pi]=-\frac{\imath \pi^2}{2} - \frac{\imath}{2} \su... ...ta_i \varphi \right)}^2 - \frac{\imath \alpha_0}{2} \varphi^2.$$ (4.1)

Podemos ainda escrever ${\bf L}$ e ${\bf H}$, a Lagrangiana e a Hamiltoniana do sistema, como sendo as somas espaciais sobre as respectivas densidades. Assim,

$${\bf H}[\pi] \sum_{\mathbf{x}} {\cal H}[\pi]$$ =

$$-\frac{\imath}{2}\sum_{\mathbf{x}}\left[ \pi^2 +\sum_i\left( \Delta_i \varphi \right)^2 + \alpha_0 \varphi^2 \right]$$ = (4.2)

e

$$\begin{eqnarray*} {\bf L}[\Delta_0 \varphi] &=& \sum_{\mathbf{x}} {\cal L}[\Delt... ...^2) + \sum_i (\Delta_i \varphi)^2 + \alpha_0 \varphi^2 \right]. \end{eqnarray*}$$

Para discutirmos a teoria quântica vamos utilizar a definição via integração funcional, onde o que temos são os observáveis da teoria expressos por

$$\left\langle {\cal O}\right\rangle_N \equiv \frac{\displayst... ...\varphi] e^{-S}}{\displaystyle \int [{\bf d} \varphi] e^{-S}}.$$

Neste ponto temos duas maneiras de continuar os cálculos, a primeira delas considerando $\pi$ e $\imath \Delta_0 \varphi$ como variáveis independentes e a outra considerando-as como as mesmas variáveis. Vamos estudar detalhadamente cada uma delas.

No primeiro caso, os observáveis são definidos como

$$\left\langle {\cal O}\right\rangle \equiv \frac{\displaystyl... ... \pi] [{\bf d} \varphi] e^{-\sum_s {\cal L}[\pi , \varphi ]}},$$ (4.3)

onde neste caso consideramos a seguinte generalização:

$${\cal L[\pi , \varphi ]} \equiv -\imath\pi \Delta_0 \varphi +\imath {\cal H} [\pi]$$

$$-\imath \pi \Delta_0 \varphi + \frac{\pi²}{2} + \frac{1}{2} \sum_i (\Delta_i \varphi)² + \frac{\alpha_0}{2} \varphi².$$ = (4.4)

Após alguns cálculos chegamos a

$$\left\langle {\cal O} \right\rangle = \frac{\displaystyle \i... ...pi] e^{-\frac{1}{2} \sum_s (\pi - \imath \Delta_0 \varphi)²}}.$$ (4.5)

Precisamos agora calcular a integral

$$I = \int [{\bf d} \pi] e^{-\frac{1}{2} \sum_s (\pi - \imath \Delta_0 \varphi)²}.$$

Efetuando a mudança de variáveis $\chi= \pi - \imath \Delta_0 \varphi$ chegamos finalmente a

$$I = \int_{-\infty}^{+ \infty} [{\bf d} \chi] e^{-\frac{1}{2}\sum_s \chi²}$$

e para um observável que não dependa de $\pi$ temos, da equação (4.5),

$$\left\langle {\cal O}\right\rangle = \frac{\displaystyle \in... ...rphi]}}{\displaystyle \int [{\bf d} \varphi] e^{-S[\varphi]}},$$

onde $S[\varphi]=\sum_s {\cal L}[\varphi]$. Ou seja, para ${\cal O}[\pi, \varphi]\equiv {\cal O}[\varphi]$ este formalismo é idêntico ao formalismo em que $\pi=\imath \Delta_0 \varphi$.

No entanto, quando os observáveis dependem tanto de $\pi$ como de $\varphi$ este resultado já não é mais válido e precisamos voltar à definição (4.5). Desta maneira pode-se demonstrar, por exemplo, que $\left\langle \pi - \imath \Delta_0 \varphi \right\rangle = 0$ e que $\left\langle\left( \pi - \imath \Delta_0 \varphi\right)² \right\rangle = 1$. Este resultado indica uma diferença conceitual entre os campos clássico e quântico. Classicamente não existe diferença entre as variáveis $\pi$ e $\imath \Delta_0 \varphi$. Quanticamente porém somente os valores esperados de $\pi$ e $\imath \Delta_0 \varphi$ são iguais.

De agora em diante, portanto, utilizaremos a definição geral dada por (4.3).

Precisamos agora mapear esta definição dos observáveis na rede nos valores esperados de observáveis em estados de partículas como é usual no caso do formalismo de operadores.

A idéia é associar o estado de vácuo a um particular ensemble do modelo, aquele que estivemos usando até agora,

$$\vert\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \varphi] e^{-S[\varphi]}}{\displaystyle \int[{\bf d} \varphi] e^{-S[\varphi]}}$$

ou

$$\vert\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \varphi][{\bf... ...tyle \int [{\bf d} \varphi][{\bf d} \pi] e^{-S[\varphi,\pi]}},$$

o estado de uma ``partícula'' de momento $\vec{k}$ a

$$\vert{\vec{k}},1\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \v... ...\varphi]\vert\tilde{\varphi}_{\vec{k}}\vert^2 e^{-S[\varphi]}}$$

ou

$$\vert{\vec{k}},1\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \v... ...\pi]\vert\tilde{\varphi}_{\vec{k}}\vert^2 e^{-S[\varphi,\pi]}}$$

e assim por diante, até termos o estado de n partículas de momento $\vec{k}$ dado por

$$\vert{\vec{k}},n\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \v... ...rphi]\vert\tilde{\varphi}_{\vec{k}}\vert^{2n} e^{-S[\varphi]}}$$

ou

$$\vert{\vec{k}},n\rangle \sim \frac{\displaystyle [{\bf d} \v... ...]\vert\tilde{\varphi}_{\vec{k}}\vert^{2n} e^{-S[\varphi,\pi]}}$$ (4.6)

Precisamos portanto analisar o que representam estes ensembles do ponto de vista da construção do espaço de Fock. Para isso vamos calcular neles os observáveis número de partículas e energia do sistema.