A Teoria Livre

Utilizamos o campo escalar livre de uma única componente como laboratório para calcular alguns observáveis da teoria analiticamente.

A ação deste modelo é definida na rede como

$$S=\sum_s{\cal L},\mbox{ } {\cal L}=\frac{1}{2}\sum_{\mu}(\Delta_{\mu}\varphi)^2 +\frac{\alpha_0}{2}\varphi^2.$$ (3.3)

Esta teoria é interessante porque todas as integrais envolvidas são Gaussianas e, assim sendo, solúveis na rede. Pode-se demonstrar, por exemplo, que a função de dois pontos do modelo no espaço de momentos é expressa por

$$\left\langle {\vert \tilde{\varphi}_{\vec{k}} \vert}^2 \right\rangle_0 = \frac{1}{N^d}\frac{1}{\rho_{\vec{k}}^2 + \alpha_0},$$ (3.4)

onde $\rho^2 \equiv \sum_{\mu} \rho_{\mu}^2 \equiv \sum_{\mu}\left[ 2\sin{\frac{\pi k_{\mu}}{N}}\right]^2$ são os momentos adimensionais definidos na rede e $\vec{k} \equiv (k_1,k_2,...,k_d)$ com k_i variando de -N/2 a +N/2 são os modos de Fourier da rede. Podemos ainda expressar estas funções no espaço de configurações, simplesmente aplicando uma transformada finita inversa de Fourier à expressão (3.4). Obtemos assim

$$\left\langle \varphi (\vec{x}_1) \varphi (\vec{x}_2) \right\... ...angle {\vert \tilde{\varphi}(\vec{k}) \vert }^2 \right\rangle,$$ (3.5)

onde definimos a transformada finita de Fourier e sua inversa respectivamente como

$$\tilde{\varphi}(\vec{k})= \frac{1}{N^d} \sum_{\vec{n}} e^{\imath \frac{2 \pi}{N} \vec{k} \cdot \vec{n}} \varphi(\vec{n})$$

e

$$\varphi(\vec{n})= \sum_{\vec{k}} e^{-\imath \frac{2 \pi}{N} \vec{k} \cdot \vec{n}} \tilde{\varphi}(\vec{k}).$$ (3.6)

Na linguagem da rede Euclidiana frequentemente usamos o termo função de correlação de dois pontos para representar os observáveis (3.4) e (3.5).

Além disso este modelo exibe uma propriedade interessante, a diagonalização da ação no espaço de momentos. Obtemos este resultado aplicando as transformadas finitas de Fourier (3.6) na ação definida por (3.3) e considerando as relações de ortogonalidade e completeza,

$$\sum_{n_1,...,n_{\mu}=1}^N e^{\imath {\vec{n} \cdot (\vec{k}-\vec{k}')}} = N \delta_{\vec{k},\vec{k}'}$$

e

$$\sum_{k_1,...,k_{\mu}=k_{min}}^{k_{max}} e^{\imath \vec{k} \cdot (\vec{n}-\vec{n}')} = N \delta_{\vec{n},\vec{n}'},$$

respectivamente, onde $\mu$ varia de 1 a d e k_min e k_max representam os limites inferiores e superiores para os momentos na rede. Chegamos assim a

$$S[\tilde{\varphi}]=\frac{N^d}{2} \sum_{\vec{k}}\left[\rho_{\... ...}^2 +\alpha_0\right]{\vert \tilde{\varphi_{\vec{k}}} \vert}^2.$$ (3.7)

Outra propriedade interessante é a fatoração das funções de correlação. Este resultado é uma consequência direta de (3.4), (3.7) e da definição (3.2). Derivando os dois lados de (3.4) com relação a $-N^d (\rho^2+\alpha_0)/2$ temos

$$\frac{2}{\left[N^d(\rho^2+\alpha_0)\right]^2}=\frac{\partial... ...yle \int [{\bf d} \varphi] e^{S[{\tilde{\varphi}}]} } \right).$$

Aqui devemos distinguir duas situações: $\vec{k}\not=\vec{0}$ e $\vec{k}=\vec{0}$. No primeiro caso efetuando as derivadas chegamos a

$$\left\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{4}\rig... ...angle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^2\right\rangle^2$$

e no segundo caso

$$\left\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{4}\rig... ...ngle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^2\right\rangle^2.$$

Generalizando para uma função de 2n pontos quaisquer temos, analogamente,

$$\left\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{2n}\ri... ...angle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^2\right\rangle^n$$

e

$$\left\langle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^{2n}\ri... ...angle{\vert \tilde{\varphi _{\vec{k}}} \vert}^2\right\rangle^n$$ (3.8)

respectivamente para $\vec{k}\not=\vec{0}$ e $\vec{k}=\vec{0}$. Esta propriedade nos leva a um resultado físico interessante: como todos os observáveis da teoria derivam das funções de n pontos e estas fatoram-se na função de dois pontos, podemos concluir que neste modelo toda a física pode ser abstraída desta função. Em outras palavras, a única física existente é a propagação de ondas planas de massa física relacionada com o análogo dimensional de $\alpha_0$ (pólo do propagador).