A Teoria Interagente

Após estudar a teoria livre, o próximo passo consiste em estudar uma teoria interagente. Um modelo simples que contém interação é o modelo $\lambda \varphi ^4$ expresso pela ação

$$S=\frac{1}{2}\sum_{\ell} \left( \Delta_{\ell} \varphi \right... ...pha}{2} \sum_s \varphi^2 + \frac{\lambda}{4} \sum_s \varphi^4.$$ (3.9)

Note que, com a introdução na ação do termo quártico em $\varphi$, as integrais envolvidas em $\left\langle{\cal{O}}\right\rangle_N$ deixam de ser Gaussianas. Apesar desta dificuldade, o modelo ainda é interessante porque apresenta propriedades como invariança pela troca dos sinais dos campos e quebra espontânea de simetria. As referências [9], [10] e [11] apresentam um estudo detalhado destas propriedades. Aqui vamos nos restringir a reportar alguns resultados importantes.

Para resolver este modelo continuamos utilizando o formalismo de integração funcional. A idéia é utilizar-se do algoritmo de Metrópolis e outros algoritmos estocásticos ([12], [13], [14] e [15]) para avaliar numericamente a integração funcional, inviável de ser resolvida analiticamente. Desta maneira não precisamos necessariamente depender da teoria de perturbações para obter resultados da teoria, procedimento utilizado na T.Q.C. no contínuo.

Podemos por exemplo calcular o propagador (ou seja, a função de dois pontos) do modelo tanto por teoria de perturbações [9] como por simulações estocásticas. Nos dois casos pode-se observar que o seu comportamento é similar ao do propagador livre, apenas substituindo-se $\alpha_0$ por $\alpha_R$, uma espécie de renormalização de $\alpha$. O valor de $\alpha_R$ pode ser obtido por cálculos perturbativos [9] ou por simulações estocásticas.

Estudando a função de um ponto $\left\langle\varphi\right\rangle$ podemos observar que ela comporta-se como uma parâmetro de ordem. Assim construímos o diagrama de fases do modelo (fig. 3.2). Nele a fase de simetria quebrada é onde $\left\langle\varphi\right\rangle\not=0$ e a fase simétrica onde $\left\langle\varphi\right\rangle=0$ no limite do contínuo. Partindo de uma rede finita com $\alpha$ qualquer e $\lambda > 0$, ao tomarmos o limite do contínuo é necessário que $\alpha_R$ tenda a zero para que $m_R^2=\alpha_R/a^2$ seja finito. Vale salientar também que o comportamento crítico descrito pelo diagrama de fases (fig. 3.2) existe somente no limite do contínuo, pois é justamente neste limite que as funções envolvidas deixam de ser analíticas devido à integração funcional e surge a possibilidade do aparecimento de descontinuidades, ou não-analiticidades nos observáveis.

Figure 3.2: Diagrama de fases do modelo $\lambda \varphi ^4$.

Podemos ainda obter a declividade da curva crítica do modelo nas proximidades do ponto Gaussiano $\theta_c$. Definindo o ângulo polar $\theta$ de tal forma que $\lambda=0$, $\alpha \rightarrow - \infty$ corresponda a $\theta$ nulo e $\lambda=0$, $\alpha \rightarrow + \infty$ corresponda a $\theta=180^0$, temos que, para d=4, $\theta_c$ corresponde a aproximadamente 65⁰.