Resultados

Para um estudo dos observáveis ação e número de partículas foram executadas 1000 submédias e 100000 iterações em cada uma delas. Nos gráficos apresentados a seguir iremos trabalhar com as coordenadas polares r e $\theta$ ao invés dos parâmetros $\alpha$ e $\lambda$ no espaço de parâmetros do modelo. O ângulo $\theta$ será definido de tal forma que para $\lambda=0$ e $\alpha<0$, $\theta$ é nulo e para $\lambda=0$ e $\alpha>0$, $\theta=180^o$. A direção adotada como temporal será a última. Estaremos considerando na análise sempre o espaço-tempo quadridimensional e o parâmetro raio (r) unitário.

Inicialmente analisaremos a consistência do código através da teoria livre.

As figuras (5.1) e (5.2) apresentam os resultados para a ação e para o número de partículas calculados por simulação através das equações (5.1), (5.2) e (5.3) neste caso.

Figure: Gráfico do valor esperado da ação como função do número de partículas na teoria livre calculados para o modo (0,0,0,1). Os resultados foram obtidos por simulação estocástica em uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do número de partículas obtido por simulações estocásticas como função do número de partículas analítico na teoria livre, para o modo (0,0,0,1). Estamos considerando uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Para a teoria livre sabemos que a ação pode ser escrita analiticamente como (4.9)

$$\langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}=\frac{N_L^{d-1}N_T}{2} + n.$$

Assim, para d=4 e N=4 a ação calculada no vácuo é igual a 128, e o valor da escada é unitário independentemente do modo, o que confere com os dados apresentados. Para a teoria interagente efetuamos rodadas em três posições distintas: no meio da fase simétrica ($\theta=135^o$), no meio da fase quebrada ($\theta=35^o$) e nas proximidades da linha crítica pela fase simétrica ($\theta=70^o$). Os resultados obtidos para a ação e para o número de partículas estão apresentados nos gráficos (5.3) a (5.8).

Figure: Gráfico do valor esperado da ação como função do número de partículas na teoria interagente com $\theta =135^0$ e r=1 calculados para o modo (0,0,0,1). Os resultados foram obtidos por simulação estocástica em uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do número de partículas obtido por simulações estocásticas como função do número de partículas analítico na teoria interagente com $\theta =135^0$ e r=1 para o modo (0,0,0,1). Estamos considerando uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do valor esperado da ação como função do número de partículas na teoria interagente com $\theta =70^0$ e r=1 calculados para o modo (0,0,0,1). Os resultados foram obtidos por simulação estocástica em uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do número de partículas obtido por simulações estocásticas como função do número de partículas analítico na teoria interagente com $\theta =70^0$ e r=1 para o modo (0,0,0,1). Estamos considerando uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do valor esperado da ação como função do número de partículas na teoria interagente com $\theta =35^0$ e r=1 calculados para o modo (0,0,0,1). Os resultados foram obtidos por simulação estocástica em uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Figure: Gráfico do número de partículas obtido por simulações estocásticas como função do número de partículas analítico na teoria interagente com $\theta =35^0$ e r=1 para o modo (0,0,0,1). Estamos considerando uma rede com 4 vértices no espaço-tempo quadridimensional.

Podemos perceber que os resultados da ação para o estado de vácuo na teoria interagente não coincidem em valor absoluto com os valores analíticos calculados na teoria livre, N_L^d-1N_T/2. Isso não é de todo inesperado, porque agora estamos olhando para a teoria interagente. A nossa expectativa é apenas que exista o mesmo comportamente divergente no limite do contínuo. Esta análise será feita adiante.

Já para o observável número de partículas, em uma rede finita, assim como para a ação, temos o comportamento qualitativo esperado, porém $\Delta {\cal N} \equiv {\cal N}_n - {\cal N}_{n-1}$ não é identicamente unitário dentro da barra de erros. Podemos justificar este fato pela necessidade de se olhar para o limite do contínuo. Entretanto, mesmo em redes finitas e pequenas podemos estudar o comportamento de $\Delta {\cal N}$ como função do ângulo $\theta$. Os gráficos (5.9) e (5.10) ilustram esta análise para N=4 e N=6 respectivamente. Note que em ambos os casos $\Delta {\cal N} \sim 1$ para $\theta \sim 60^o$ . Este resultado aponta em direção à linha crítica do modelo para d=4, que corresponde a $\theta_c \sim 65^o$. É de se esperar que no limite do contínuo, $\theta (\Delta_{\cal N}=1)\equiv \theta_c$.. Para uma análise mais detalhada em redes finitas seria necessário um número maior de pontos nos gráficos, o que não é fácil de se obter na estatística que estamos analisando com os recursos computacionais disponíveis.

Figure: Gráfico do coeficiente angular da escada do número de partículas $\Delta {\cal N}$ como função do ângulo $\theta$ para o modo (0,0,0,1), com d=4 e N=4. Temos aqui um indicativo de que o número de partículas torna-se inteiro ( $\Delta {\cal N} \sim 1$) nas imediações da linha crítica do modelo $\theta _c \sim 65^0$.

Figure: Gráfico do coeficiente angular da escada do número de partículas $\Delta {\cal N}$ como função do ângulo $\theta$ para o modo (0,0,0,1), com d=4 e N=6. Temos aqui um indicativo de que o número de partículas torna-se inteiro ( $\Delta {\cal N} \sim 1$) nas imediações da linha crítica do modelo $\theta _c \sim 65^0$.