Cálculo do Número de Partículas

Iniciamos a análise calculando o número de partículas no ensemble do vácuo. Neste caso o cálculo é análogo ao da teoria livre até a equação (4.7),

$$\langle S\rangle_0^{\pi \not= \imath \Delta_0 \varphi}= \fra... ...1}N_T}{2} + \langle S \rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi},$$

onde

$$\langle S\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}= \frac{\int... ...}{2} \varphi^4 \right]}{\int[{\bf d}\varphi] e^{-S[\varphi]}}.$$

A partir deste ponto, porém, não podemos proceder como no caso anterior calculando a transformada de Fourier do campo para diagonalizar a ação, uma vez que ela não é mais Gaussiana. Além disso, mesmo na abordagem numérica não chegamos a calcular transformadas de Fourier completas, pois para calcular todos os modos de forma eficiente precisaríamos armazenar uma matriz quadrada N^d por N^d contendo todas as fases de Fourier o que implicaria no uso de muita memória do computador. Assim, continuando no espaço de configurações, obtemos para a ação

$$\langle S \rangle_0^{\pi = \imath\Delta_0 \varphi} = \frac{1... ...\lambda}{2} \left\langle \sum_s \varphi^4\right\rangle \right]$$ (5.1)

e para o número de partículas, que assumimos ter a mesma forma do caso da teoria livre, ${\cal{N}} = S - \langle S \rangle_0$,

$$\langle{\cal{N}}\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi} = \l... ...a_0 \varphi}-\langle S\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi},$$

que é identicamente nulo por construção.

Para o estado de n partículas de momento $\vec{k}$ temos analogamente para o valor esperado da ação

$$\langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi \not= \imath \Delta_0 \var... ... + \langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi},$$

onde

$$\langle S\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi} \frac{1}{2 \left\langle {\vert {\tilde \varphi}_{\vec{k}} \vert }... ...ight)^2 { \vert {\tilde \varphi}_{\vec{k}} \vert }^{2n} \right\rangle_0 \right]$$ = (5.2)

$$\frac{1}{2 \left\langle {\vert {\tilde \varphi}_{\vec{k}} \vert }... ...rphi^4 {\vert {\tilde \varphi }_{\vec{k}} \vert }^{2n} \right\rangle_0 \right].$$ +

e o número de partículas é

$$\langle{\cal{N}}\rangle_{\vec{k},n}^{\pi=\imath\Delta_0 \var... ...a_0 \varphi}-\langle S\rangle_0^{\pi=\imath \Delta_0 \varphi}.$$ (5.3)

O método utilizado na tomada de dados consiste em calcular cada uma das médias necessárias para a avaliação dos observáveis via simulação computacional.