Resultados a um laço

Nesta seção iremos apresentar o cálculo da contribuição ao coeficiente de Chern-Simons proveniente do tensor de polarização a um laço. O modelo considerado é o Chern-Simons-Higgs, expresso em termos do produto-estrela como:

$${\cal{L}} = \frac{\kappa}{2} \epsilon^{\mu \nu \lambda} \left(A_{\mu} \ast \p... ..._{\nu} A_{\lambda} + \frac{2 i}{3} A_{\mu}\ast A_{\nu} \ast A_{\lambda} \right)$$

$$+ (D_{\mu} \Phi) \ast (D^{\mu} \Phi)^{\dag } - \frac{\lambda}{4}\left(\Phi \ast \Phi^{\dag } - v^2\right)_{\ast}^2,$$ (4.33)

onde a derivada covariante considerada é $D_{\mu} \Phi \equiv \partial_{\mu} \Phi -i \Phi \ast A_{\mu}$. Na fase de simetria quebrada, de maneira análoga ao que fizemos no capítulo anterior, para o modelo de Maxwell-Chern-Simon-Higgs, vamos considerar $\langle \vert\Phi\vert \rangle \equiv v\ne 0$ e decompor o campo escalar como $\Phi = v + \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma + i \chi)$, de tal forma que a lagrangiana (4.37), em termos destes novos campos, torna-se:

$${\cal{L}} = \frac{\kappa}{2} \epsilon^{\mu \nu \lambda} \left(A_{\mu} \ast \p... ..._{\nu} A_{\lambda} + \frac{2 i}{3} A_{\mu}\ast A_{\nu} \ast A_{\lambda} \right)$$

$$+ \frac{m^2}{2} A_{\mu} \ast A^{\mu} - \frac{1}{2 \xi} (\partial_{\mu} A^{\mu}){\ast}(\partial_{\nu} A^{\nu})$$

$$+ \frac{1}{2}(\partial_{\mu}{\sigma})\ast(\partial^{\mu}{\sigma}) -... ...ial_{\mu}{\chi})\ast(\partial^{\mu}{\chi}) - \frac{m_{\chi}^2}{2} \chi\ast \chi$$

$$- \frac{1}{2} A_{\mu} \ast \left(\sigma \ast {\buildrel\,\leftright... ...a ,\partial^{\mu}\sigma]_{\ast} - i [\chi ,\partial^{\mu}\,\chi]_{\ast} \right)$$

$$+ \frac{1}{2} A_{\mu} \ast A^{\mu} \ast\left(\sigma \ast \sigma + \chi \ast \chi + 2 \sqrt{2} v \sigma + i [\sigma,\chi]_{\ast} \right)$$

$$- \frac{\lambda}{2 \sqrt{2}} v \left\{ \sigma, \left( \frac{\sigma ... ...ma + \chi \ast \chi}{2} + \frac{i}{2}[\chi,\sigma]_{\ast}\right)\right\}_{\ast}$$

$$- \frac{\lambda}{16}\left(\sigma \ast \sigma + \chi \ast \sigma + i [\chi,\sigma]_{\ast}\right)_{\ast}^2,$$ (4.34)

onde estamos considerando o calibre $R_{\xi}$, definido em (2.50), e definindo as seguintes massas:

$$m^2= 2 v^2, \qquad m_{\sigma}^2= \lambda v^2, \qquad m_{\chi}^2= \xi m^2.$$ (4.35)

Também estamos definindo o comutator $[,]_{\ast}$ e o anticomutador $\{,\}_{\ast}$ como sendo os usuais com o produto simples mapeado no estrela.

Como vimos na seção anterior, os propagadores não são afetados pela não comutatividade e podem ser obtidos da maneira usual através dos termos bilineares dos campos. Desta forma, o propagador do campo de calibre no espaço euclidiano é dado por:

$$D_{\mu \nu} (p) = \frac{1}{p^2+M^2} \left( m^2 \delta_{\mu \... ...silon_{\mu \nu \lambda} p_{\lambda} \right)\frac{1}{\kappa^2},$$ (4.36)

onde $p_0 = w_n= 2 \pi n T$ são as frequências de Matsubara para o caso bosônico e estamos definindo uma nova massa $M$ para o campo de calibre como:

$$M \equiv \frac{m^2}{\kappa}.$$ (4.37)

Note que o propagador acima pode ser extraído da Eq. (2.53), para o propagador do campo de calibre no modelo Maxwell-Chern-Simons-Higgs, no limite $e^2,\kappa \rightarrow \infty$, com $e^2/\kappa$ finito. Nesta situação, um dos pólos de (2.53) deixa de existir e a teoria passa a ter uma única massa física para o campo de calibre, expressa pela Eq. (4.41). Já o propagador do campo escalar é o mesmo utilizado no capítulo anterior, Eq. (3.30), ou seja:

$$D_{\sigma}(p)=\frac{1}{p^2 + m_{\sigma}^2}.$$ (4.38)

Com relação às contribuições em ${\cal L}$ para os vértices, além dos produtos usuais entre campos, novos termos aparecem, exclusivos da teoria não comutativa. Um deles, o com três campos de calibre, pode ser observado diretamente de ${\cal L}_{CS}$, Eq. (4.36). Além deste, podemos notar a presença de novos vértices que dependem de comutadores entre campos e que no caso não comutativo não são nulos. No cálculo que iremos desenvolver (isto é, a contribuição com quebra de paridade para a função de dois pontos) somente dois diagramas contribuem (figura (4.1)).

Figura 4.1: Diagramas que contribuem para o termo com quebra de paridade na auto-energia do fóton a um laço. As linhas onduladas representam o campo $A_{\mu }$ e as pontilhadas, o campo $\sigma$.

Considerando o primeiro diagrama, figura (4.1)(a), o termo que quebra paridade pode ser extraído diretamente (uma vez que só existe uma linha interna do campo de calibre) e é dado por:

$$\Pi^{(a)}_{\mu\nu(PV)} \equiv {\cal{\pi}}^{(a)}_{\mu \nu} (p... ...mbda} cos^2(k \wedge p)}{(k^2 + M^2)[(p-k)^2 + m^2_{\sigma}]}.$$ (4.39)

Para $p_0=0$, a expressão acima torna-se:

$${\cal{\pi}}^{(a)}_{0i}(\vec{p}) = \frac{8 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \cos^2 (k \wedge p) \epsilon_{0ij} k_j$$

$$\qquad \qquad \times \, T \sum_{n}\frac{1}{(k_0^2 + w_M^2)\left[k_0^2 + (\vec{p} - \vec{k})^2 + m_{\sigma}^2(p)\right]}.$$ (4.40)

Para calcular esta integral note que, enquanto o denominador contém apenas somas em $\vec{k}$ e $\vec{p}$ e pode ser expandido em pequenos momentos externos, usando uma expressão similar à Eq. (3.46), o numerador contém o produto $\theta_{ij}k_i p_j$, que não necessariamente é pequeno para pequenos valores de $\vec{p}$. Para evitar possíveis problemas, vamos usar a variável $\tilde{p}_i \equiv \theta_{ij}p_j$, tal que $p \cdot \tilde{p} = 0$. Desta forma, calculamos a soma em $k_0$, expandindo somente o denominador e deixamos a expansão em torno de $\tilde{p} =0$ para após o cálculo das integrais espaciais. Seguindo estes passos, chegamos a:

$${\cal{\pi}}^{(a)}_{0i}(\vec{p}) = \frac{4 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k... ...ft[1 - 2 \vec{k} \cdot \vec{p} \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \right]$$

$$\qquad \qquad \times \, \left\{ \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2} \left[\frac... ... w_M/2)}}{w_M} - \frac{\coth(\beta w_{\sigma}/2)}{w_{\sigma}} \right] \right\},$$

onde usamos a Eq. (3.35) na soma em $k_0$.

Utilizando a igualdade:

$$2 \cos^2 (k \wedge p) = \left[1 + \cos(2 \vec{k} \cdot \tilde{\vec{p}}) \right],$$

podemos reescrever a Eq. (4.45) como:

$${\cal{\pi}}^{(a)}_{0i} (\vec{p})\equiv A_{0i}(\vec{p}) + B_{0i}(\vec{p}),$$ (4.41)

onde $A_{0i}$ e $B_{0i}$ são as contribuições planar e não-planar a ${\cal{\pi}}^{(a)}_{0i} (\vec{p})$, respectivamente dadas por:

$$A_{0i} (\vec{p}) = \frac{2 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k... ...left[1 - 2 \vec{k} \cdot \vec{p} \frac{\partial}{\partial(m_{\sigma}^2)}\right]$$

$$\qquad \qquad \times \, \left\{ \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2} \left[ \fra... ..._M/2)}}{w_M} - \frac{\coth{(\beta w_{\sigma}/2)}}{w_{\sigma}}\right] \right\} ,$$

e

$$B_{0i}(\vec{p}) = \frac{2 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k... ...eft[1 - 2 \vec{k} \cdot \vec{p} \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)}\right]$$

$$\qquad \qquad \times \, \left\{ \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2} \left[ \fra... ...w_M/2)}}{w_M} - \frac{\coth{(\beta w_{\sigma}/2)}}{w_{\sigma}}\right] \right\}.$$

No cálculo da parte planar estão envolvidas as mesmas técnicas utilizadas no capítulo anterior. Assim, separando as partes independente e dependente da temperatura, chegamos a:

$$A_{0i}(\vec{p};T=0) = \frac{2 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k... ...left[1 - 2 \vec{k} \cdot \vec{p} \frac{\partial}{\partial(m_{\sigma}^2)}\right]$$

$$\qquad \qquad \times \, \left[ \left( \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2}\right) \left( \frac{1}{w_M} - \frac{1}{w_{\sigma}}\right) \right]$$

$$= \frac{1}{3 \pi} \frac{\vert\kappa\vert}{\kappa} \frac{(1 + \frac{1}{2} \frac{m_{\sigma}}{M})}{(1 + \frac{m_{\sigma}}{M})^2}\epsilon_{0ij}p_j,$$ (4.42)

e

$$A_{0i}(\vec{p};T)=-\frac{2 v^2}{\pi \kappa} \epsilon_{0ij}p_... ...left(\frac{M}{m_{\sigma}}\right)}{m_{\sigma}^2 - M^2} \right].$$ (4.43)

Vale ressaltar aqui que estamos apresentando também o termo com temperatura nula porque ele assumirá um papel importante na discussão da mistura das divergências IR/UV do modelo. Outro ponto a ser destacado é que a Eq. (4.50) é exatamente metade da Eq. (3.58), o que era de se esperar, uma vez que a contribuição planar, a menos de uma fase, que é nula neste caso, é igual ao cálculo direto do espaço comutativo (o fator de meio aparece porque estamos considerando somente a parte planar; como veremos a seguir, a outra metade virá do termo independente de $\theta$ em $B_{0i}$). Calculando $B_{0i}$ temos:

$$B_{0i}(\vec{p}) = \frac{2 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k... ...ft[1 - 2 \vec{k} \cdot \vec{p} \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \right]$$

$$\qquad \qquad \times \, \left\{ \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2} \left[\frac... ...a w_M/2)}}{w_M} - \frac{\coth(\beta w_{\sigma}/2)}{w_{\sigma}} \right] \right\}$$

$$= - \frac{4 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij} k_j \vec{k} \cdot \vec{p} \cos(\vec{k} \cdot \vec{\tilde{p}})$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \times \, \frac{\partial}{\partial (m_{\sig... ... w_M/2)}}{w_M} - \frac{\coth(\beta w_{\sigma}/2)}{w_{\sigma}} \right] \right\}.$$

A integração em $k$ pode ser realizada com o uso de coordenadas polares, figura (4.2), tais que:

$$\vec{k}\equiv \frac{(\vec{k} \cdot \vec{p}) \vec{p}}{\vert\v... ...vec{\tilde{p}}) \vec{\tilde{p}}}{\vert\vec{\tilde{p}}\vert^2}.$$ (4.44)

Desta forma, obtemos:

$$B_{0i}(\vec{p}) = - \frac{4 v^2}{\kappa} \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \epsilon_{0ij... ...\tilde{p}_j\right] (\vec{k} \cdot \vec{p}) \cos (\vec{k} \cdot \vec{\tilde{p}})$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \times \, \frac{\partial}{\partial (m_{\sig... ... w_M/2)}}{w_M} - \frac{\coth(\beta w_{\sigma}/2)}{w_{\sigma}} \right] \right\}.$$

Figura: Sistema de Coordenadas polares utilizado na decomposição de $\vec{k}$.

Agora usando que $\vec{k} \cdot \vec{p} \sim k_1$ e $\vec{k} \cdot \vec{\tilde{p}} \sim k_2$, podemos simplificar a Eq. (4.53), considerando somente os termos pares em $k_i$. Obtemos assim:

$$B_{0i}(\vec{p}) = - \frac{4 v^2}{\kappa} \frac{\epsilon_{0ij} p_j} {(2 \pi)^2} \int... ...c{k} \cdot \vec{p})^2}{\vert\vec{p}\vert^2} \cos(\vec{k} \cdot \vec{\tilde{p}})$$

$$\qquad \qquad \qquad \, \, \, \, \, \, \times \frac{\partial}{\partial (... ...)}{w_M} - \frac{\coth(\frac{\beta w_{\sigma}}{2})}{w_{\sigma}} \right] \right\}$$

$$= \frac{4 v^2}{\kappa}\frac{\epsilon_{0ij} p_j}{(2 \pi)^2}$$

$$\times \int_0^{\infty} k^3 d k \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)}\... ...)}}{w_M} - \frac{\coth(\frac{\beta w_{\sigma}}{2})}{w_{\sigma}} \right]\right\}$$

$$\qquad \qquad \times \int_0^{2 \pi} d \alpha \cos^2(\alpha) \cos\left[k p \theta \sin(\alpha)\right],$$ (4.45)

onde $\tilde{p} \equiv \vert\vec{\tilde{p}}\vert$.

O cálculo na variável angular, $\alpha$, pode ser efetuado de forma exata em termos das funções de Bessel, $J_n(z)$ [51]. Chegamos, assim, a:

$$B_{0i}(\vec{p}) = - \frac{2 v^2}{\kappa} \frac{\epsilon_{0ij} p_j}{\pi}$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \left\{ \frac{1}{m_{\sig... ...}}{w_M} - \frac{\coth(\frac{\beta w_{\sigma}}{2})}{w_{\sigma}} \right]\right\},$$

onde utilizamos:

$$J_{2 n} (z) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} d \alpha \cos(2 n \alpha) \cos\left[z \sin(\alpha)\right].$$ (4.46)

Integrais do tipo (4.55) em $k$ irão aparecer em todas as amplitudes que iremos calcular. Assim, apresentaremos um cálculo geral no apêndice (A). Aqui, nos restringiremos a listar os resultados. Temos portanto:

$$B_{0i}(\vec{p};T=0) = - \frac{2 v^2}{ \pi \kappa} \epsilon_{0ij} p_j$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \left\{ \frac{1}{m_{\sig... ...ilde p M}}{(\tilde p )^3}\right) - (M \rightarrow m_{\sigma} )\right] \right\},$$

e

$$B_{0i}(\vec{p};T) = - \frac{4 v^2}{\pi \kappa} \epsilon_{0ij} p_j \frac{1}{\beta^2} \sum_{n=1}^{\infty}$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \left[ \frac{1}{m_{\sigm... ...T \frac{e^{- \beta M \sqrt{n^2+\tau^2}}} {(n^2 + \tau^2)^{3/2}} \right. \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \left. \left. m_{\sigma} \frac{e^{-... ...{- \beta m_{\sigma} \sqrt{n^2+\tau^2}}} {(n^2 + \tau^2)^{3/2}} \right) \right],$$

onde definimos uma nova variável $\tau$ como:

$$\tau \equiv \tilde{p} T.$$ (4.47)

Note, na Eq. (4.57), o surgimento de aparentes singularidades em torno de $\tilde{p} =0$ (pólos de Seiberg). Como já dissemos anteriormente, este tipo de divergência na região do infravermelho, comum de teorias não comutativas [47], expressa a mistura UV/IR. Neste caso, entretanto, ao expandirmos a Eq. (4.57) em pequenos valores de $\tilde{p}$, apesar de individualmente as divergências existirem, ocorre um cancelamento na soma dos vários termos. Este resultado era esperado, uma vez que já no caso comutativo a divergência ultravioleta não existe. Com este particular comportamento, podemos escrever sem dificuldades o limite $\theta=0$, onde a não comutatividade é retirada da teoria. Neste caso obtemos:

$$B_{0i}(\vec{p};T=0) \rightarrow \epsilon_{0ij} p_j \left[ \f... ... + \frac{m_{\sigma}}{M})^2} \right]\equiv A_{0i}(\vec{p};T=0),$$ (4.48)

e

$$B_{0i}(\vec{p};T) \rightarrow \frac{-2 v^2}{\pi \kappa} \eps... ...}\right)}{m_{\sigma}^2 - M^2}\right] \equiv A_{0i}(\vec{p};T),$$ (4.49)

onde no termo com $T \ne 0$ estamos considerando também o regime de altas temperaturas. Da Eqs. (4.60) e (4.61) podemos obter o pedaço que faltava às Eqs. (4.49) e (4.50) de forma a recuperar o limite comutativo.

O próximo passo é estudar a primeira correção às Eqs. (4.60) e (4.61) com relação à não comutatividade. No caso de temperatura nula, este estudo é feito através de uma expansão em torno de $\tilde{p} =0$. Chegamos desta maneira a:

$$B_{0i}(\vec{p};T=0) \rightarrow \epsilon_{0ij} p_j \left[ \f... ...{\sigma}}{M})^2} - \frac{v^2}{4 \pi \kappa } \tilde p \right].$$ (4.50)

Já para o termo dependente da temperatura, o parâmetro que surge naturalmente é $\tau$, e realizando uma expansão em torno de $\tau=0$, obtemos:

$$B_{0i}(\vec{p};T) = - \frac{2 v^2}{\pi \kappa} \epsilon_{0ij} p_j \frac{1}{\beta}$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)}\left\{ \frac{1}{m_{\sigma}^2 - M^2} \left[ m^2_{\sigma} \ln(\frac{M}{m_{\sigma}}) \right. \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. + \tau^2\frac{\beta^2 }... ...t(M^4 \ln(\beta M) - m_{\sigma}^4 \ln(\beta m_{\sigma}) \right)\right] \right\}$$

$$+ {\cal{O}} (\tau^4).$$ (4.51)

Vamos agora estudar o segundo diagrama, figura (4.1)(b), expresso por:

$$\Pi^{(b)}_{\mu \nu} (p)=2 \kappa^2 \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)... ...D_{\alpha \rho} (k+p) D_{\sigma \beta} (k) \sin^2(k \wedge p).$$ (4.52)

Aqui temos uma estrutura de índices um pouco mais delicada e não podemos extrair diretamente o termo com quebra de paridade. Olhando somente para o numerador do integrando, temos:

$$N_{\mu \nu} \equiv \epsilon_{\mu \alpha \beta} \epsilon_{\sigma \rho \nu} \left[ m^2... ...appa^2}{k^2 + \xi m^2} - \kappa \epsilon_{\sigma\rho \delta} k_{\delta} \right]$$ (4.53)

$$\times \left[ m^2 \delta_{\alpha \beta} - (k+ p)_{\alpha} (k + p)_{\beta... ...)^2 + \xi m^2} - \kappa \epsilon_{\alpha \beta \gamma} (k+p)_{\gamma} \right] ,$$

e considerando somente os termos que contribuem para o cálculo envolvendo a quebra de paridade, chegamos a:

$$N_{\mu \nu} \rightarrow \kappa m^2 \epsilon_{\mu \nu \alpha} p_{\alpha}$$

$$- \kappa (m^2 - \xi \kappa^2) k \cdot (k+p) \epsilon_{\mu \nu \alph... ...c{k_{\alpha}}{k^2 +\xi m^2} - \frac{(k+p)_{\alpha}}{(k+p)^2 + \xi m^2} \right].$$

Incorporando este resultado à Eq. (4.64), podemos extrair o termo que quebra paridade como sendo:

$$\Pi^{(b)}_{\mu \nu(PV)} (p) \equiv {\cal{\pi}}^{(b)}_{\mu \nu}(p)$$

$$= 2 \kappa^2\int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} \frac{\sin^2(k \wedge p) \epsilon_{\mu \nu \lambda}}{(m^4 + \kappa^2 k^2) [m^4 + \kappa^2 (k+p)^2]}$$

$$\qquad \qquad \times \left\{ \kappa m^2 p_{\lambda} \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, \, -\left. \kappa (m^2 - \xi \kappa^2) k \cdot (k+p) \left[ \frac{k_{\lambda}}{k^2 + \xi m^2} \right. \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \left. \left. \frac{(k+p)_{\lambda}}{(k+p)^2 + \xi m^2} \right]\right\}.$$

O cálculo que segue não apresenta nenhuma novidade com relação ao anterior. Assim, sem discutir os detalhes, chegamos a:

$${\cal{\pi}}^{(b)}_{0i} (\vec{p};T=0) = \frac{1}{16 \pi} \frac{3 m^2 - \xi \kappa^2}{\kappa} \tilde{p}\, \epsilon_{0ij} p_j,$$ (4.54)

e, no regime de altas temperaturas,

$${\cal{\pi}}^{(b)}_{0i} (\vec{p};T) = - \frac{\epsilon_{0ij}p... ...\tau^2\left[2 m^2 \ln(\beta M) + (m^2 - \xi \kappa^2)G\right],$$ (4.55)

onde definimos a função $G$ como:

$$G\equiv \frac{\xi^2 m^4(\xi m^2 + M^2)}{(\xi m^2 - M^2)^3}\l... ...4 \xi^2 m^4 - 3 \xi m^2 M^2)}{(\xi m^2 - M^2)^3} \ln(\beta M).$$ (4.56)

Note que tanto (4.68) quanto (4.69) não apresentam um termo independente de $\theta$. Este resultado era esperado, uma vez que este diagrama é uma contribuição puramente não comutativa a $\Pi_{\mu \nu}$, que deve desaparecer quando fizermos $\theta$ tender a zero (o termo trilinear em $A_{\mu }$ na lagrangiana desaparece neste limite). Matematicamente, podemos entender este resultado diretamente da Eq. (4.64): para $\theta=0$ o seno se anula e este diagrama desaparece. Outra questão interessante que surge neste resultado é a dependência explícita no parâmetro de calibre $\xi$. Note que este comportamento veio do diagrama puramente não comutativo, fig (4.1)(b). Aqui podemos reconhecer mais um aspecto que assemelha este modelo ao caso não abeliano, uma vez que naquela situação também obtemos uma dependência explícita do calibre neste tipo de cálculo [49].

Colecionando os resultados provenientes dos dois diagramas, $\pi^{(a)}$ a $\pi^{(b)}$, obtemos:

$$\Pi_{0i(PV)}^{nc}(\vec{p}) \equiv {\cal{\pi}}_{0i} (\vec{p};T=0) + {\cal{\pi}}_{0i} (\vec{p};T),$$ (4.57)

onde as componentes independente e dependente da temperatura são respectivamente dadas por:

$${\cal{\pi}}_{0i} (\vec{p};T=0) = \frac{1}{\pi \kappa} \epsil... ... + \frac{\tilde{p}}{4} (m^2 - \frac{3}{4}\xi \kappa^2)\right],$$ (4.58)

e

$${\cal{\pi}}_{0i}(\vec{p};T) = - \frac{1}{\pi \kappa} \epsilon_{0ij} p_j \frac{1}{\beta} \left\{... ...gma}^2 \ln\left(\frac{M}{m_{\sigma}}\right)}{m_{\sigma}^2 - M^2}\right] \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \, \, + \left. \frac{\tilde{p}^2}{4} v^2 \fr... ...eta M) - m_{\sigma}^4 \ln(\beta m_{\sigma})}{m_{\sigma}^2 - M^2}\right] \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \, \, + \left.\frac{\tilde{p}^2}{16} \left[ 2 m^2 \ln(\beta M) + (m^2 - \xi \kappa^2) G\right] \right\}$$

$$.$$ (4.59)

Como já destacamos anteriormente, não existem singularidades no infravermelho advindas das contribuições não planares, apesar delas aparentemente estarem presentes nas expressões completas (veja, por exemplo, Eq. (4.53)). Este resultado é esperado porque o limite comutativo também não apresenta divergências ultravioletas. Com relação ao termo com temperatura finita e não nula, a contribuição em primeira ordem em $\tilde{p}$ apresenta uma dependência com a temperatura diferente da contribuição comutativa, isto é, a contribuição planar é proporcional a $T$ enquanto que a contribuição não planar é proporcional a $T \ln T$. Esta diferença de comportamento já foi encontrada em outros modelos [29] e pode estar relacionada com a escolha de limites que estamos considerando, isto é, a expansão em torno de pequenos valores de $\tau$.