Conclusões e Perspectivas

Apresentamos nos capítulos anteriores um estudo de alguns efeitos térmicos em teorias de calibre em $(2+1)$ dimensões acopladas tanto com campos fermiônicos quanto com campos bosônicos na fase de simetria $U(1)$ quebrada. Em particular, estudamos sistematicamente o processo de blindagem nestas teorias, tendo sido calculadas as massas elétricas e magnéticas a um laço. Para a $QED_3$, encontramos o interessante comportamento de ausência do processo de blindagem para cargas magnéticas, resultado este geral e válido em qualquer ordem de perturbação. Dando continuidade ao trabalho, extendemos parte desta análise para teorias não comutativas. Desenvolvemos um estudo da mistura UV/IR e dos efeitos de temperatura no coeficiente de Chern-Simons induzido no modelo Chern-Simons-Higgs em um espaço não comutativo.

Com relação aos estudos realizados no espaço comutativo usual, em linhas gerais, vimos que, tanto em teorias com acoplamento com campos bosônicos quanto com campos fermiônicos, o coeficiente de Chern-Simons induzido apresenta a característica de não ser analítico na origem do espaço energia-momento. No caso bosônico, das Eqs. (3.58) e (3.76), podemos ver que, no regime de altas temperaturas, no limite estático ele comporta-se como $T$ e no limite de onda longa como $T \ln T$. Já no caso fermiônico, os dois limites foram calculados em [41] e comportam-se respectivamente como $\frac{1}{T}$ e $\frac{\ln T}{T}$. Este resultado vale ser ressaltado, porque quando as massas envolvidas nos cálculos dos laços bosônicos não são iguais, sabemos que a analiticidade em torno da origem dos momentos é recuperada, pelo menos em modelos não envolvendo termos com quebra de paridade [21]. No nosso cálculo este comportamento pôde ser observado para as contribuições com paridade conservada, Eqs. (3.78) e (3.79). Além do mais, o termo de Chern-Simons induzido proveniente do laço bosônico tem uma dependência com a temperatura completamente diferente daquele proveniente do laço fermiônico.

Estudando as massas físicas dos sistema, vimos que embora em ambos os casos, bosônico e fermiônico, o propagador completo desenvolva uma estrutura com dois pólos (o que modificaria a análise dos processos de blindagem), nos cálculos a um laço, limite estático e regime de altas temperaturas, apenas um deles sobrevive: no caso de bósons, sendo ele dominado pelo termo com paridade quebrada e no caso de férmions, pelo termo com paridade conservada. No caso bosônico, vimos que as massas magnética e elétrica não são nulas e existem, portanto, os respectivos processos de blindagem.

Considerando o acoplamento com campos fermiônicos, isto é, a $QED_3$, vimos que a massa elétrica continua existindo e a massa magnética passa a ser nula, como consequência do fato de $\Pi_1$, a componente transversal do tensor de polarização, se anular. Foi possível demonstrar que este resultado é geral e válido em qualquer ordem de perturbação, o que é surpreendente, pois apesar do termo de Chern-Simons alterar intrinsicamente o comportamento magnético da teoria (lembre-se que ele atrela a toda carga elétrica um fluxo de campo magnético), ele não é suficiente para modificar o comportamento encontrado na $QED_4$. Também demonstramos que, a um laço, a massa magnética se anula na $QED$ à Temperatura Finita em qualquer dimensão (para $(2+1)$ dimensões inclusive a parte independente da temperatura pôde ser regularizada para zero).

Em espaços não comutativos, estudamos o coeficiente de Chern-Simons induzido na teoria de Chern-Simons pura acoplada com um campo de Higgs na fase de simetria quebrada. Considerando somente o termo independente da temperatura, encontramos que não existe a mistura UV/IR, típica de teorias não comutativas. Este resultado pôde ser entendindo olhando-se para a contribuição planar ao coeficiente, que é finita. Este setor da teoria nesta ordem de perturbação, portanto, não apresenta problemas com divergências; nada podemos dizer desta análise do comportamento em ordens superiores. Como consequência, pudemos recuperar a não comutatividade considerando o limite onde $\theta=0$ e também obter a primeira contribuição com relação ao parâmetro não comutativo como sendo proporcional a $\tilde{p}$, Eq. (4.72). Estudando o termo dependente da temperatura, realizamos uma expansão em torno de $\tau=0$ (definido na Eq. (4.59)), obtendo assim, no limite estático e regime de altas temperaturas o termo dominante proveniente da contribuição não planar como sendo proporcional a $\tilde{p}^2 T \ln{T}$, Eq. (4.73), muito diferente da contribuição planar, que comporta-se como $T$. A expansão das amplitudes em torno de pequenos valores da variável $\tau$ foi discutida em [50] em termos de uma espécie de generalização da análise de hard thermal loop, amplamente usado em teorias comutativas. Já em [29], estes tipos de limite são associados com alguns processos de transmutação bósons-férmions nas contribuições não planares.

Ainda com relação ao cálculo não comutativo, vimos que a teoria abeliana apresenta comportamentos típicos de teorias de Yang-Mills. Este resultado já havia sido encontrado com relação à discretização do coeficiente de Chern-Simons [24] e agora manifestou-se no aparecimento de uma dependência explícita no parâmetro de calibre deste coeficiente, como podemos observar das Eqs. (4.72) e (4.73).

Várias possibilidades surgem de continuidade deste trabalho. Com relação à dependência do termo que quebra paridade da auto-energia do fóton com o parâmetro de calibre, para estudarmos a invariância de calibre precisaríamos calcular a contribuição proveniente da função de três pontos. Neste caso, a independência de calibre apareceria, em analogia ao caso não abeliano, como:

$$\sim f(\xi) \epsilon^{\mu \nu \lambda}\left[A_{\mu} \partial... ...+ \frac{2 i}{3} A_{\mu} \ast A_{\nu} \ast A_{\lambda} \right],$$ (5.1)

com $f(\xi)$ sendo uma função a ser determinada perturbativamente. Assim seria necessário calcular a correção a um laço da função de três pontos em torno da origem do espaço energia-momento. Um estudo nesta linha já está sendo desenvolvido.

Outra possibilidade seria a análise dos processos de blindagem nos modelos não comutativos. Considerando que os propagadores não são alterados pela não comutatividade, a questão da existências de dois pólos nos propagadores dos modelos de Maxwell-Chern-Simons-Higgs e na $QED_3$ com termo de Chern-Simons (no caso fermiônico os dois pólos somente aparecendo no propagador completo) continua a existir, e uma análise do comportamento destes propagadores no regime de altas temperaturas pode trazer resultados interessantes.

Em uma linha paralela a esta, podemos também discutir a renormalizabilidade da teoria em espaços não comutativos, no modelo aqui estudado, ou seja, Chern-Simons puro acoplado com campo de Higgs.