Limite Estático

Partindo da Eq. (3.42) e considerando $p_0=0$, temos:

$$\Pi_{\mu \nu (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p}) = 8 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{\mu \nu \lambda} \frac{1}{\beta}$$

$$\times \sum_n \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} \frac{k_{\lambda}}{[k_0^2 + (\vec{k}+\vec{p})^2 + m_{\sigma}^2](k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)}.$$

Olhando em separado para cada uma das contribuições a $\Pi_{\mu \nu}$ ($\lambda=0$ e $\lambda=i$), é imediato concluir que:

$$\Pi_{ij (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p})=0,$$ (3.40)

devido à antisimetria do integrando na Eq. (3.44) (a soma em $k_0$ para $\lambda=0$ é ímpar). Consequentemente, nos resta calcular apenas a componente $\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p})$. Podemos ainda, antes de efetuar a soma, expandir o integrando em torno de $\vec{p}=0$. Utilizando:

$$\frac{1}{[k_0^2 + (\vec{k}+\vec{p})^2 + m_{\sigma}^2]} = \frac{1}{(k_0^2 + w_{\sigma}^2 )} - \frac{2 \vec{p} \cdot \vec{k}}{(k_0^2 + w_{\sigma}^2 )^2} + {\cal O}({\vec{p}}^{\phantom a 2})$$

$$= \left[1 + 2 \vec{p} \cdot \vec{k} \frac{\partial}{\partial (m_{\s... ...}\right] \frac{1}{(k_0^2 + w_{\sigma}^2)} + {\cal O}({\vec{p}}^{\phantom a 2}),$$

obtemos, para pequenos momentos,

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p}) = 8 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{0ij} \frac{1}{\beta} \int \frac{d^2k}{... ...eft[1 + 2 \vec{p} \cdot \vec{k} \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)}\right]$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \times \sum_n \frac{1}{(k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)(k_0^2 + w_{\sigma}^2)}$$

$$+ {\cal O}({\vec{p}}^{\phantom a 2}).$$ (3.41)

O primeiro termo no integrando (linear em $k_j$) se anula devido a antisimetria. Chegamos assim a:

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p}) = 16 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{0ij} p_l \frac{1}{\beta}$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)^2} k_j k_l \sum_n \frac{1}{(k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)(k_0^2 + w_{\sigma}^2)}$$

$$+ {\cal O}(\vec{p}^{\phantom a 2}),$$ (3.42)

O próximo passo consiste em efetuar a soma em $k_0 = 2 \pi n T$. Com o uso da Eq. (3.35), chegamos a:

$$T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(k_0^2 + w_{\sigma}^2)(k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)}$$

$$= \frac{1}{2} \left[\frac { \frac{1}{w_{\sigma}} \coth(\frac{\beta ... ...oth(\frac{\beta w_+}{2}) } { (m_{\sigma}^2 - m_+^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) } \right.$$

$$\qquad \, \, \, \, \, + \left.\frac {\frac{1}{w_-} \coth(\frac{\beta w_-}{2}) } { (m_{\sigma}^2 - m_-^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) }\right].$$ (3.43)

Substituindo este resultado em $\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p})$, Eq. (3.48), temos:

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p}) = 4 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{0ij} p_j$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)... ...a w_{\sigma}}{2}) } { (m_{\sigma}^2 - m_+^2 ) (m_{\sigma}^2 - m_-^2 ) } \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \left. \frac { \frac{1}{w_+} \coth(\frac{\beta w_+}{2}) } { (m_{\sigma}^2 - m_+^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) } \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \left.\frac { \frac{1}{w_-} \coth(\frac{\beta w_-}{2}) } { (m_{\sigma}^2 - m_-^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) }\right].$$

A parte com $T=0$ da expressão acima pode ser extraída diretamente com o uso da Eq. (3.37) e concorda com resultados obtidos no formalismo usual [40] (vale salientar que esta comparação deve levar em conta o fato de estarmos fazendo o cálculo no espaço euclidiano). A correção dependente da temperatura é dada por:

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p};T) = 8 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{0ij} p_j$$

$$\times \frac{\partial}{\partial (m_{\sigma}^2)} \int \frac{d^2k}{(2 \pi)... ...} n_B(w_{\sigma}) } { (m_{\sigma}^2 - m_+^2 ) (m_{\sigma}^2 - m_-^2 ) } \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \left. \frac { \frac{1}{w_+} n_B(w_+) } { (m_{\sigma}^2 - m_+^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) } \right.$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \left. \frac {\frac{1}{w_-} n_B(w_-) } { (m_{\sigma}^2 - m_-^2 ) (m_+^2 - m_-^2 ) }\right],$$

onde estamos utilizando a função distribuição bosônica, ou seja,

$$n_B(x) = \frac{1}{e^{\beta x}-1}.$$ (3.44)

As integrais que aparecem na Eq. (3.51) podem ser expressas em termos da função $h_n(y)$, definida como [5]:

$$h_n(y) = \int_0^{\infty}\frac{x^n dx}{(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{ e^{(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} - 1}},$$ (3.45)

e, em geral, não podem ser calculadas de maneira exata. É possível, porém, obter os seus limites para pequenos valores de $y$ [5,39]. No apêndice (A) iremos calcular explicitamente $h_3$. Com o uso deste resultado, podemos obter a integral que aparece na Eq. (3.51), ou seja,

$$I \equiv \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \frac{{\vec{k}}^2}{w}n_B(w)$$

$$= \frac{1}{2 \pi \beta^3} \left\{ 2 \zeta(3) + (\beta m)^2\left[\ln(\beta m) - \frac{1}{2}\right] \right\} + {\cal O} (\beta^0),$$ (3.46)

onde $\zeta (x)$ é a função Zeta de Riemann [51]. Com o uso de (3.54), extraímos o termo dominante, a altas temperaturas, de $\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p};T)$, Eq. (3.51), como sendo [25]:

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p};T) = \frac{4 \kappa e^4 v^... ...{0ij}p_j F(m_+,m_-,m_{\sigma}) \equiv \epsilon_{0ij}p_j \Pi_B,$$ (3.47)

onde definimos:

$$\Pi_B = \frac{4 \kappa e^4 v^2}{\pi \beta} F(m_+,m_-,m_{\sigma}),$$ (3.48)

e

$$F(m_+,m_-,m_{\sigma}) = \frac{m_+^2 \ln \left(\frac{m_+}{m_{\sigma}}\right)}{(m_+^2-m_-^2... ...^2 \ln\left(\frac{m_-}{m_{\sigma}}\right)}{(m_+^2-m_-^2)(m_{\sigma}^2-m_-^2)^2}$$

$$+ \frac{1}{2(m_{\sigma}^2-m_+^2)(m_{\sigma}^2-m_-^2)}.$$ (3.49)

Deste resultado pode-se também obter o limite de uma teoria de Chern-Simons pura, no qual o termo de Maxwell é retirado da lagrangiana. Este limite é obtido de (3.55) considerando-se $e^2,\kappa \rightarrow \infty$, com $e^2/\kappa$ finito. Neste caso, $m_+ \rightarrow \infty$, $m_- \rightarrow m^2/\vert\kappa\vert$ e (3.55) torna-se:

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}}(\vec{p};T) \rightarrow -\epsilon_{... ...a}}) + m_{\sigma}^2 - m_-^2}{(m_{\sigma}^2 - m_-^2)^2}\right].$$ (3.50)

No próximo capítulo iremos obter o mesmo resultado de uma outra maneira.

O termo com paridade conservada pode ser calculado explicitamente, utilizando passos muito semelhantes aos acima apresentados. Existe, porém, um caminho alternativo para este cálculo, se lembrarmos que, à temperatura finita, a auto-energia do campo de calibre pode ser parametrizada, na fase de simetria quebrada, como [15,7,26]:

$$\Pi_{\mu \nu} (p) = P_{\mu \nu} \Pi_1(p) + Q_{\mu \nu} \Pi_2(p) + \delta_{\mu \nu} \Pi_3(p) + \Pi_{\mu \nu (PV)}(p),$$ (3.51)

onde

$$P_{\mu \nu} = \tilde{\delta}_{\mu \nu} - \frac{\tilde{p}_{\m... ...{\mu \nu}=\frac{p^2}{\tilde{p}^2} \bar{u}_{\mu} \bar{u}_{\nu},$$ (3.52)

com

$$\bar{u}_{\mu}= u_{\mu} - \frac{u \cdot p }{p^2} p_{\mu} ,\qq... ...\tilde{\delta}_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu} - u_{\mu} u_{\nu}.$$ (3.53)

e $u_{\mu}$ sendo a velocidade do banho térmico (no referencial de repouso expressa por $u_{\mu} \equiv (1, \vec{0})$). Os dois primeiros termos são os usuais, associados com a decomposição do tensor de polarização a $T \ne 0$. Já $\Pi_3$ aparece porque estamos considerando o sistema na fase quebrada. Usando esta decomposição podemos, através de uma álgebra direta, obter cada uma das componentes associadas com o termo de paridade conservada. Assim, temos:

$$\Pi_1 (p) = - \frac{p_0^2}{p_0^2 - \vec{p}^{\phantom a 2}} \... ...tom a 2}} \frac{p_i p_j}{\vec{p}^{\phantom a 2}} \Pi_{ij} (p),$$

$$\Pi_2 (p) = \frac{p_0^2 + \vec{p}^{\phantom a 2}}{p_0^2 - \v... ... + \frac{p_i p_j}{\vec{p}^{\phantom a 2}} \Pi_{ij} (p)\right],$$

e

$$\Pi_3 (p) = \frac{p_0^2}{p_0^2 - \vec{p}^{\phantom a 2}} \Pi... ...tom a 2}} \frac{p_i p_j}{\vec{p}^{\phantom a 2}} \Pi_{ij} (p).$$ (3.54)

No limite estático , as componentes acima tornam-se:

$$\Pi_1 (\vec{p}) = \Pi_{ii} (\vec{p}) - 2 \frac{p_i p_j}{{\vec{p}}^2}\Pi_{ij} (\vec{p}),$$

$$\Pi_2 (\vec{p}) = \Pi_{00} (\vec{p}) - \frac{p_i p_j}{\vec{p}^2}\Pi_{ij} (\vec{p}),$$

e

$$\Pi_3(\vec{p}) = \frac{p_i p_j}{\vec{p}^2}\Pi_{ij} (\vec{p}).$$ (3.55)

Ao invés de calcularmos diretamente $\Pi_{\mu \nu (PC)}$, é muito mais simples calcular $\Pi_1$, $\Pi_2$ e $\Pi_3$ que dependem somente de $\Pi_{00}$, $\Pi_{ii}$ e $p_i p_j \Pi_{ij}$ . Além disso, estas componentes são suficientes para determinarmos as massas elétrica e magnética do sistema.

A componente $(0,0)$ da Eq. (3.43) é dada, para $p_0=0$, por:

$$\Pi_{00}^{\mbox{sn}}(\vec{p}) = - 4 e^2 m^2 \frac{1}{\beta} ... ...c{p})^2 + m_{\sigma}^2 ] (k_0^2 + w_+^2 ) (k_0^2 + w_-^2 ) }.$$ (3.56)

Novamente aqui, utilizamos passos similares aos utilizados no cálculo do termo com quebra de paridade: a expansão em pequenos momentos (neste caso estamos interessados no termo independente de $\vec{p}$) e a soma em $k_0$. Considerando somente a contribuição dependente da temperatura, no limite de altas temperaturas chegamos a [26]:

$$\Pi_{00}^{\mbox{sn}}(\vec{p}=0;T) \equiv \Pi_{00}^{\mbox{sn}}(p_0=0,\vec{p} \rightarrow 0;T)$$

$$= \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \left[2 + \frac{4 m^2 (m^2 - m_{\sigma}^... ...2 - m_+^2)(m_{\sigma}^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_{\sigma}}{m_-}\right) \right.$$

$$\qquad \qquad - \left. \frac{4 m^2 (m^2 - m_+^2)}{(m_{\sigma}^2 - m_+^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_+}{m_-}\right) \right],$$ (3.57)

onde nós empregamos, de maneira análoga ao cálculo da Eq. (3.54),

$$\int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \frac{1}{w} n_B(w) \rightarrow - \frac{1}{2 \pi \beta} + {\cal O} (\beta^0),$$ (3.58)

e

$$\int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} w n_B(w) \rightarrow \frac{2 \z... ... \pi \beta^3} - \frac{m^2}{4 \pi \beta} + {\cal O} (\beta^0).$$ (3.59)

O cálculo de $\Pi_{ii}$ é semelhante ao de $\Pi_{00}$ e fornece, a altas temperaturas, o resultado [26]:

$$\Pi_{ii}^{\mbox{sn}}(\vec{p}=0;T) \equiv \Pi_{ii}^{\mbox{sn}}(p_0=0,\vec{p} \rightarrow 0;T)$$

$$= - \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \left[ - \ 4 \ln(\beta m_{\sigma}) + 2 \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \, + \left. \frac{4(2 m^4 - 3 m^2 m_-^2 - m... ...igma}^2 - m_-^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln \left(\frac{m_{\sigma}}{m_-}\right) \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \, - \left. \frac{4(2 m^4 - 3 m^2 m_+^2 - m... ...sigma}^2 - m_+^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_{\sigma}}{m_+}\right)\right].$$

Finalmente,

$$\frac{p_i p_j}{\vec{p}^2} \Pi_{ij}^{\mbox{sn}} (p_0=0,\vec{p... ...ac{1}{2} \Pi_{ii}^{\mbox{sn}} (p_0=0,\vec{p} \rightarrow 0;T).$$ (3.60)

Segue, portanto que, no limite estático,

$$\Pi_1^{\mbox{sn}} (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0) = 0,$$

$$\Pi_2^{\mbox{sn}} (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0) = - 2 \left[... ...eta} \ln(\beta m_{\sigma})\right] + {\cal O}(\frac{1}{\beta}),$$

e

$$\Pi_3^{\mbox{sn}} (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0) = 2 \left[ \... ...eta }\ln(\beta m_{\sigma})\right] + {\cal O}(\frac{1}{\beta}).$$ (3.61)

Adicionando a este resultado a contribuição proveniente do diagrama alça, chegamos finalmente a

$$\Pi_1 (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0)= 0,$$

$$\Pi_2 (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0) = -2 \left[ \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \ln(\beta m_{\sigma})\right],$$

e

$$\Pi_3 (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0) = \left[ \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \ln(\beta m_{\sigma})\right].$$ (3.62)