Limite de Onda Longa

O limite de onda longa pode ser efetuado de maneira análoga ao limite estático. A diferença aparece somente no momento de tomarmos a extensão analítica para $p_0$ contínuo, neste caso expresso pelo momento de efetuarmos a expansão em torno de $p_0=0$. Somente após da soma efetuada e das propriedades de periodicidade terem sido utilizadas, é que podemos efetuar a extensão analítica. Considerando $\vec{p}=0$ na Eq. (3.42) temos:

$$\Pi_{\mu \nu (PV)}^{\mbox{sn}} (p_0) = 8 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{\mu \nu \lambda} \frac{1}{\beta}$$

$$\times \sum_n \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \frac{k_{\lambda}}{ [(k_0 + p_0)^2 + w_{\sigma}^2](k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)}.$$

Neste caso, de maneira análoga ao caso estático,

$$\Pi_{0i (PV)}^{\mbox{sn}} (p_0) = 0,$$ (3.63)

por simetria, e $\Pi_{ij (PV)}^{\mbox{sn}} (p_0)$ é expresso por:

$$\Pi_{ij (PV)}^{\mbox{sn}} (p_0) = 8 \kappa e^4 v^2 \epsilon_{0 i j} \frac{1}{\beta}$$

$$\times \sum_n \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2}\frac{k_0}{ [(k_0 + p_0)^2 + w_{\sigma}^2](k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)}.$$

Efetuando a soma em $k_0$, com o uso da Eq. (3.35), obtemos:

$$T\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{k_0}{ [(k_0 + p_0)^2 + w_{\sigma}^2](k_0^2 + w_+^2)(k_0^2 + w_-^2)}$$

$$= \frac{1}{4}\left[\frac { i \coth(\frac{\beta w_+}{2}) } { [ (p_0 ... ...{\beta w_-}{2}) } { [ (p_0 - i w_-)^2 + w_{\sigma}^2] (m_+^2 - m_-^2) } \right.$$

$$\qquad \qquad + \left. \frac{\coth(\frac{\beta w_{\sigma}}{2})}{w_{\sigm... ...[ (- p_0 + i w_{\sigma})^2 + w_+^2] [(-p_0 + i w_{\sigma})^2 + w_-^2 ] }\right]$$

$$- (p_0 \rightarrow - p_0),$$ (3.64)

onde utilizamos as propriedades de periodicidade da cotangente para simplificar o último termo da expressão acima. Somente agora podemos considerar valores contínuos de $p_0$ . Desta forma, para $T \ne 0$, o termo linear em $p_0$ é dado por (considerando apenas o termo dominante na expansão de altas temperaturas):

$$\Pi_{ij (PV)}^{\mbox{sn}}(p_0;T) =\frac{4 \kappa e^4 v^2 \ep... ...ta m_{\sigma})}{(m_{\sigma}^2 - m_+^2)(m_{\sigma}^2 - m_-^2)}.$$ (3.65)

Aqui vale a pena confrontar os valores obtidos para o termo com quebra de paridade nos dois limites avaliados. Comparando as Eqs. (3.55) e (3.76) vemos que este pedaço da amplitude não é analítico na origem dos momentos. Este resultado é muito interessante, ou seja, mesmo com diferentes massas envolvidas no cálculo do laço bosônico, o termo com paridade quebrada, ao contrário do com paridade conservada, não é analítico na origem do plano energia-momento. Em modelos mais simples, sem termos com quebra de paridade, é sabido que, se as massas envolvidas no cálculo dos laços bosônicos são diferentes, é encontrada uma analiticidade em torno de $p=0$ [21]. Aqui, a introdução de um termo que quebra paridade destrói este comportamento.

Para o cálculo do termo com paridade conservada no limite de onda longa, utilizamos novamente a decomposição (3.59) e as relações (3.62), que tornam-se:

$$\Pi_1 (p_0) = - \Pi_{00} (p_0) + \Pi_{ii}(p_0) - \frac{p_i p_j}{\vec{p}^2} \Pi_{ij} (p_0),$$

$$\Pi_2 (p_0) = - \Pi_{00} (p_0) + \frac{p_i p_j}{\vec{p}^2} \Pi_{ij} (p_0),$$

e

$$\Pi_3 (p_0) = \Pi_{00} (p_0).$$ (3.66)

As passagens seguintes no cálculo das componentes $(0,0)$ e $(i,i)$ do tensor de polarização não acrescentam nenhuma dificuldade com relação ao que já discutimos. Obtemos, assim,

$$\Pi_{00}^{\mbox{sn}}(p_0=0;T) \equiv \Pi_{00}^{\mbox{sn}}(p_0 \rightarrow 0,\vec{p}=0;T)$$

$$= \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \left[2 + \frac{4 m^2 (m^2 - m_{\sigma}^... ...2 - m_+^2)(m_{\sigma}^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_{\sigma}}{m_-}\right) \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, - \left. \frac{4 m^2 (m^2 - m_+^2)}{(m_{\sigma}^2 - m_+^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_+}{m_-}\right) \right]$$

$$\equiv \Pi_{00}^{\mbox{sn}}(p_0=0, \vec{p} \rightarrow 0;T) = \Pi_{00}^{\mbox{sn}}(\vec{p}= 0;T),$$ (3.67)

e

$$\Pi_{ii}^{\mbox{sn}} (p_0=0;T) \equiv \Pi_{ii}^{\mbox{sn}} (p_0 \rightarrow 0,\vec{p}=0;T)$$

$$= - \frac{e^2 }{2 \pi \beta} \left[ - \ 4 \ln(\beta m_{\sigma}) + 2 \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \, + \left. \frac{4(2 m^4 - 3 m^2 m_-^2 - m... ...igma}^2 - m_-^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln \left(\frac{m_{\sigma}}{m_-}\right) \right.$$

$$\qquad \qquad \, \, \, \, \, \, - \left. \frac{4(2 m^4 - 3 m^2 m_+^2 - m... ...\sigma}^2 - m_+^2)(m_+^2 - m_-^2)}\ln\left(\frac{m_{\sigma}}{m_+}\right)\right]$$

$$\equiv \Pi_{ii}^{\mbox{sn}} (p_0=0, \vec{p} \rightarrow 0; T) = \Pi_{ii}^{\mbox{sn}} ( \vec{p}=0;T).$$ (3.68)

Vemos destes dois resultados que as contribuições ao tensor de polarização com paridade conservada são analíticas na origem do espaço energia-momento. Considerando a contribuição proveniente do diagrama alça os resultados finais são listados abaixo:

$$\Pi_1(p_0 \rightarrow 0, \vec{p}=0) = 2 \left[ \frac{e^2}{2 \pi \beta} \ln\left(\beta m_{\sigma}\right)\right],$$

$$\Pi_2(p_0 \rightarrow 0, \vec{p}=0) = 2 \left[ \frac{e^2}{2 \pi \beta} \ln\left(\beta m_{\sigma}\right)\right],$$

e

$$\Pi_3(p_0 \rightarrow 0,\vec{p}=0) = - \left[ \frac{e^2}{2 \pi \beta} \ln\left(\beta m_{\sigma}\right)\right].$$ (3.69)