Tensor de Polarização na $QED_3$ com termo de Chern-Simons

Na seção anterior calculamos o tensor de polarização no modelo Maxwell-Chern-Simons-Higgs na fase de simetria quebrada. Naquele caso, o propagador na aproximação de árvore já apresentava dois pólos, o que poderia modificar o estudo dos processos de blindagem. Se ao invés de considerarmos um campo de Higgs, acoplarmos o campo $A_{\mu }$ a férmions, esta estrutura de dois pólos, como veremos a seguir, aparecerá no propagador completo da teoria. Portanto a pergunta sobre como estudar os processos de blindagem ainda se mantém.

O modelo considerado é a $QED$ em $(2+1)$ dimensões com um termo de Chern-Simons, expresso pela seguinte lagrangiana:

$${\cal L} = \bar{\psi} (i{\gamma^{\mu}\partial_{\mu}} - m_F)\... ...mu} A_{\mu} \psi - \frac{1}{2 \xi} (\partial^{\mu} A_{\mu})^2,$$ (3.70)

onde $m_F$ é a massa do campo fermiônico. Para o cálculo vamos utilizar os seguintes propagadores no espaço euclidiano:

$$D_{\mu \nu} (p) = \frac{1}{p^2 + \kappa^2}\left[ (\delta_{\m... ..._{\lambda}}{p^2}\right] + \xi \frac{p_{\mu} p_{\nu}}{(p^2)^2},$$ (3.71)

e

$$S_F(p) = \frac{- \gamma_{\mu} p_{\mu} + m_F}{p^2 + m_F^2},$$ (3.72)

respectivamente para o campo de calibre e o campo fermiônico. A notação escolhida para as matrizes $\gamma$ é tal que $\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\} = - 2 \delta_{\mu \nu}$, ou seja,

$$\gamma_0 = i \sigma_3, \qquad \gamma_1 = i \sigma_1, \qquad \gamma_2 = i\sigma_2,$$ (3.73)

onde $\sigma_i$ são as matrizes de Pauli. Além disso, $p_0 \equiv (2 n + 1)\pi T$ são as frequências de Matsubara para o campo fermiônico.

Figura 3.3: Auto-energia do fóton a um laço na $QED_3$ com Chern-Simons. As linhas onduladas representam o campo de calibre e as contínuas, o campo fermiônico.

O cálculo da auto-energia do fóton a um laço envolve apenas um diagrama, figura (3.3), e pode ser expresso por:

$$\Pi_{\mu \nu} (p) = e^2 \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} \mbox{Tr} \gamma_{\mu} S_F(k+p) \gamma_{\nu} S_F(k)$$ (3.74)

$$\equiv \frac{e^2}{\beta}\sum_n \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \mbox{Tr} \f... ...mma_{\nu} [- (k+p)_{\rho}\gamma_{\rho} + m_F]}{(k^2 + m_F^2)[(k+p)^2 + m_F^2]}.$$

Devido ao traço atuando sobre as matrizes $\gamma$ surgirão deste diagrama dois pedaços com comportamentos distintos, um com paridade conservada e outro com quebra de paridade. O termo com quebra de paridade já foi calculado em [41] e no limite estático e regime de altas temperaturas é dado por:

$$\Pi_{0i (PV)} (\vec{p};T) = \frac{e^2}{8 \pi} \beta m_F \epsilon_{0ij} p_j \equiv \epsilon_{0ij} p_j \Pi_F (\vec{p}),$$ (3.75)

onde definimos $\Pi_F$ como sendo:

$$\Pi_F (\vec{p}) \equiv \frac{e^2}{8 \pi} \beta m_F.$$ (3.76)

Já o termo com paridade conservada é expresso por:

$$\Pi_{\mu \nu (PC)} (p) = - 2 e^2 \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3... ...} [k \cdot (k+p) + m_F^2]}{ (k^2 + m_F^2) [(k+p)^2 + m_F^2] }.$$ (3.77)

Neste caso a decomposição de $\Pi_{\mu \nu}$ torna-se:

$$\Pi_{\mu \nu} (p) = P_{\mu \nu} \Pi_1 (p) + Q_{\mu \nu} \Pi_2 (p) + \Pi_{\mu \nu (PV)} (p),$$ (3.78)

ou seja, a mesma considerada no caso bosônico, mas sem o termo proveniente da quebra de simetria, isto é, com $\Pi_3=0$. O cálculo de $\Pi_1$ e $\Pi_2$ não apresenta muitas diferenças com relação ao anterior. A principal delas é que devemos modificar a soma em $k_0$ de forma a considerar valores ímpares. Por simplicidade, listaremos somente os resultados para o limite estático e regime de altas temperaturas. Assim temos:

$$\Pi_1 (p_0=0, \vec{p}\rightarrow 0)= 0,$$

e

$$\Pi_2 (p_0=0,\vec{p} \rightarrow 0) = \frac{e^2 \ln{2}}{\pi \beta}.$$ (3.79)