Cálculos a um laço

Como já observamos no início deste capítulo, em um plasma carregado em $(2+1)$ dimensões, o potencial entre duas cargas estáticas separadas por uma distância $R=\vert\vec{R}\vert$ é dado pela Eq. (3.26), ou seja,

$$\sim \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + \Pi_{00}(0,\vec{k})}$$

$$\equiv \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + m_{el}^2}$$

$$\sim K_0(m_{el} R) \approx \frac{e^{- m_{el} R}}{\sqrt{m_{el} R}},$$ (3.80)

onde $K_0$ é a função de Bessel modificada e $m_{el}$ é a massa elétrica. Nesta seção vamos calcular, a um laço, $m_{el}$ para os modelos Maxwell-Chern-Simons-Higgs e QED com um termo de Chern-Simons em $2+1$ dimensões.

Inicialmente iremos calcular explicitamente o propagador completo do campo de calibre no caso escalar. Como já foi visto anteriormente , Eq. (3.29), o campo de calibre adquire, já na aproximação de árvore, dois pólos massivos com massas $m_{\pm}^2$. Se quisermos adicionar a ele as contribuições provenientes da auto-energia do fóton, temos [26]:

$$D_{\mu \nu} (p) = \frac{ P_{\mu \nu} (p^2 + M_2^2) + Q_{\mu \nu} (p^2 + M_1^2) - (\kappa + \Pi_B) \epsilon_{\mu\nu\lambda} p_{\lambda}}{(p^2 + M_+^2)(p^2 + M_-^2)}$$

$$+ \frac{p_{\mu} p_{\nu}}{p^2}\frac{1}{m^2 + \Pi_3},$$ (3.81)

com

$$M_1^2 = m^2 + \Pi_1 + \Pi_3,$$

$$M_2^2 = m^2 + \Pi_2 + \Pi_3,$$

$$\Pi_{\mu \nu(PV)} \equiv \epsilon_{\mu \nu \lambda}p_{\lambda} \Pi_B,$$

e

$$M_{\pm}^2 = \frac{ (\kappa + \Pi_B)^2 + M_1^2 + M_2^2}{2}$$ (3.82)

$$\pm \frac{ \left[(M_1^2 - M_2^2)^2 + 2 (M_1^2 + M_2^2)(\kappa + \Pi_B)^2 + (\kappa + \Pi_B)^4 \right]^{1/2} }{2}.$$

Assim, a inclusão de correções radiativas, a priori, preserva a estrutura de duas massas para o campo de calibre, agora $M_{\pm}$ ao invés de $m_{\pm}$. Colecionando os resultados obtidos para os fatores de forma no limite estático, Eq. (3.71) podemos calcular $M_1^2$, $M_2^2$ e $M_{\pm}^2$ como sendo:

$$M_1^2 = m^2 + \Pi_1 + \Pi_3 \equiv m^2 + \Pi_3 \rightarrow \Pi_3,$$ (3.83)

$$M_2^2 = m^2 + \Pi_2 + \Pi_3 \rightarrow \Pi_2 + \Pi_3,$$ (3.84)

e

$$M_{\pm}^2 \rightarrow \frac { \Pi_B^2 + (M_1^2 + M_2^2) \pm ... ...2^2)}{\Pi_B^2} + \frac{(M_1^2 - M_2^2)^2}{\Pi_B^4} } } { 2 },$$ (3.85)

levando a:

$$M_+ \rightarrow \Pi_B,$$ (3.86)

e

$$M_- \rightarrow \frac{(M_1^2 - M_2^2)}{\Pi_B}.$$ (3.87)

Unindo estes resultados, podemos obter $D_{00}$ de (3.92) como:

$$D_{00} (\vec{p}) = Q_{00} \frac{\vec{p}^2 + M_1^2}{(\vec{p}^{\phantom a 2} + M_-^2)(\vec{p}^{\phantom a 2} + M_+^2)}$$

$$= Q_{00} \left[ \frac{M_+^2 - M_1^2}{M_+^2 - M_-^2} \frac{1}{\vec{p... ...{M_-^2 - M_1^2}{M_+^2 - M_-^2} \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_-^2} \right]$$

$$\sim \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_+^2} + \frac{M_1^2}{M_+^2} \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2}}$$

$$= \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_+^2} + \frac{\pi \beta \ln(\beta m_{\sigma})}{8 e^2 \kappa^2 m^4 F^2} \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2}}$$

$$\sim \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_+^2},$$ (3.88)

e de maneira análoga, chegamos a:

$$D_{ii} (\vec{p}) \sim \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_+^2}.$$ (3.89)

Concluímos deste resultado que, embora na forma geral do propagador completo do campo de calibre apareçam duas massas, a um laço, limite estático e regime de altas temperaturas, somente uma delas sobrevive tanto em $D_{00}$ quanto em $D_{ii}$ e podemos identificá-las trivialmente com as $m_{el}$ e $m_{mag}$, respectivamente. Note que aqui, em contraste com o caso quadridimensional, a massa magnética não é nula.

Para a $QED_3$, o propagador completo é obtido como sendo:

$$D_{\mu \nu} (p) = \frac{ P_{\mu \nu} (p^2 + \Pi_2) + Q_{\mu \nu} (p^2 + \Pi_1) - (\kappa + \Pi_F) \epsilon_{\mu\nu\lambda} p_{\lambda}}{(p^2 + M_+^2)(p^2 + M_-^2)}$$

$$+ \frac{\xi p_{\mu} p_{\nu}}{(p^2)^2},$$ (3.90)

onde $M_{\pm}^2$ são as mesmas massas do caso escalar, Eq. (3.93), com $m \equiv 0 \equiv \Pi_3$ e $\Pi_B \rightarrow \Pi_F$. Vale salientar que no caso fermiônico, embora na aproximação de árvore haja somente um pólo massivo, como podemos observar na Eq. (3.82), quando incorporamos a este resultado as correções radiativas, chegamos à mesma estrutura de duas massas do caso bosônico. Neste caso, substituindo os valores de $\Pi_1$ e $\Pi_2$ obtidos no limite estático, Eq. (3.90), temos que:

$$M_1^2 = \Pi_1 = 0,$$ (3.91)

$$M_2^2 = \Pi_2,$$ (3.92)

e

$$M_{\pm}^2 = \frac{\Pi_F^2 + \Pi_2 \pm \sqrt{\Pi_2^2 + 2 \Pi_2 \Pi_F^2 + \Pi_F^4 }}{2},$$ (3.93)

onde $\Pi_F$ é definido a partir da Eq. (3.86). Dos resultados acima chegamos a

$$M_+^2 = \Pi_2,$$ (3.94)

$$M_-^2 = 0,$$ (3.95)

o que implica nas seguinte componentes de $D_{\mu \nu}$

$$D_{00} (\vec{p})= Q_{00} \left[\frac{M_+^2 - M_1^2}{M_+^2 - ... ...2} + M_-^2} \right] = \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2}+ M_+^2},$$ (3.96)

e

$$D_{ii} (\vec{p}) = P_{ii}\left[ \frac{M_+^2 - M_2^2}{M_+^2 - M_-^2}\frac{1}{\vec{p}^... ...ac{M_-^2 - M_2^2}{M_+^2 - M_-^2}\frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2} + M_-^2}\right]$$

$$\sim \frac{1}{\vec{p}^{\phantom a 2}},$$ (3.97)

ou seja, neste caso campos magnéticos estáticos não sofrem o processo de blindagem. Matematicamente, este resultado é uma consequência de $\Pi_1=0$ a um laço. Note que mesmo no caso bosônico $\Pi_1$ é nula. Lá, porém, o pólo não massivo não se desenvolve porque $m \ne 0 \ne \Pi_3$. Como veremos na próxima seção, este resultado para o caso fermiônico é válido em qualquer ordem de perturbação. Pictoricamente, podemos entendê-lo da seguinte maneira: na $QED_3$ o termo de Chern-Simons não é suficiente para quebrar o comportamento da massa magnética encontrado na $QED_4$. Já no caso bosônico o fato da massa magnética não ser nulo pode estar associado com as soluções tipo vórtice eletricamente carregados existentes na teoria de Higgs abeliana acoplada com campo de Chern-Simons em $(2+1)$ dimensões.