Processo de Blindagem na $QED_4$

Como exemplo, considere um plasma a temperatura $T$, onde são colocadas duas cargas elétricas clássicas puntuais $Q_1$ e $Q_2$ nas posições $\vec{x}_1$ e $\vec{x}_2$, respectivamente. A variação na energia dentro do plasma é proporcional a:

$$V(\vec{x}_1,\vec{x}_2) \sim \int d^3 x \left[ \vec{E}_1^{cl}... ...x}) \cdot \langle \vec{E}_1\rangle (\vec{x}_1,\vec{x})\right],$$ (3.11)

onde $\vec{E}_i^{cl}$, $i=1,2$ são os campos elétricos clássicos (obedecendo, portanto às equações de Maxwell) gerados por $Q_1$ e $Q_2$, e $\vec{E}_i$ é o campo dentro do plasma (já considerando o efeito da carga $i$).

Uma vez que $\vec{E}_i^{cl}$, $i=1,2$, são conhecidos da teoria clássica, precisamos somente calcular $\langle \vec{E}_i\rangle$. Para isso, vamos utilizar a teoria de resposta linear. Neste caso, ${\cal H}$, ${\cal H}'$ e ${\cal H}^{ext}$ são as densidades de hamiltoniana dos sistemas não perturbado, perturbado e externo, respectivamente dadas por:

$${\cal H}= \frac{1}{2}\vec{E}^2 + \frac{1}{2}\vec{B}^2,$$ (3.12)

$${\cal H}'= \frac{1}{2}(\vec{E} + \vec{E}^{cl})^2 + \frac{1}{2}\vec{B}^2,$$ (3.13)

e

$${\cal H}^{ext}= \vec{E} \cdot \vec{E}^{cl} + \frac{1}{2}(\vec{E}^{cl})^2,$$ (3.14)

devido à presença de uma carga $Q$ no plasma. A variação na i-ésima componente do campo elétrico no plasma devido à presença da carga é expressa, pela teoria de resposta linear, através da Eq. (3.10), como sendo:

$$\delta \langle \hat{E}_i(\vec{x},t)\rangle \sim - i \int_0^t... ...\hat{E}_i(\vec{x},t),\hat{E}_j(\vec{x}',t')]} \theta (t - t'),$$ (3.15)

onde a função $\theta (t - t')$ não altera a expressão e foi colocada de modo a facilitar a identificação do comutador acima com as funções de Green da teoria. Os passos seguintes no cálculo de $\delta \langle \hat{E}_i(\vec{x},t)\rangle$ envolvem escrever os campos $E_{\mu}$ em termos do potencial vetor $A_{\mu }$, a imposição das regras de comutação para estes campos e a utilização das propagadores e funções de Green para o campo $A_{\mu }$. Estas contas já foram apresentadas na literatura sob vários enfoques. Assim, sem entrar em detalhes, pode-se demonstrar que:

$$\langle \hat{E}_i (\vec{x})\rangle = - \int \frac{d^3 k}{(2 ... ...dot \vec{x} } E_j^{cl} (\vec{k}) k_i k_j D^R_{00} (0,\vec{k}).$$ (3.16)

Aqui $D^R_{00}$ representa a função de Green retardada da teoria e estamos considerando um calibre covariante qualquer tipo Lorentz. Finalmente, se incluirmos as correções radiativas provenientes da teoria quântica, o potencial entre duas cargas puntuais $Q_1$ e $Q_2$ separadas por uma distância $R$ dentro do plasma, Eq. (3.11), torna-se:

$$V(\vec{R}=\vec{x}_1 - \vec{x}_2) = Q_1 Q_2 \int \frac{d^3 k}... ...c{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + \Pi_{00}(0,\vec{k})},$$ (3.17)

com $\Pi_{\mu \nu}$ sendo o tensor de polarização, satisfazendo à seguinte decomposição:

$$\Pi_{\mu \nu} = \Pi_1 P_{\mu \nu} + \Pi_2 Q_{\mu \nu},$$ (3.18)

onde

$$P_{\mu \nu} = \tilde{\delta}_{\mu \nu} - \frac{\tilde{p}_{\m... ...{\mu \nu}=\frac{p^2}{\tilde{p}^2} \bar{u}_{\mu} \bar{u}_{\nu},$$ (3.19)

com

$$\bar{u}_{\mu}= u_{\mu} - \frac{u \cdot p }{p^2} p_{\mu},\qqu... ...\tilde{\delta}_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu} - u_{\mu} u_{\nu},$$ (3.20)

e $u_{\mu}$ sendo a velocidade do banho térmico (no referencial de repouso expressa por $u_{\mu} \equiv (1, \vec{0})$). Desta forma as componentes $\Pi_1$ e $\Pi_2$ são dadas respectivamente por $\Pi_1 = \Pi_{ii}$ e $\Pi_2 = \Pi_{00}$. Note que, uma vez que o tensor de polarização envolvido na integração em (3.17) deve ser considerado em $k_0=0$, estamos interessados no limite estático desta amplitude.

Para interpretar o resultado expresso em (3.17) , vamos considerar o caso onde $R \gg 0$. Neste limite, o termo dominante na integral (3.17) vem de $\vec{k} \sim 0$. Assim, definindo a massa elétrica $m_{el}$ como sendo:

$$m_{el}^2 \equiv \Pi_{00} (0,\vec{0}),$$ (3.21)

a Integral (3.17) torna-se:

$$\int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + \Pi_{00}(0,\vec{k})} \equiv \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + m_{el}^2}\sim \frac{e^{- m_{el}R}}{R},$$

ou seja, é um potencial de Yukawa. Uma interpretação deste resultado é que o plasma interage com a partícula carregada amortecendo o seu efeito a longas distâncias: parte dos íons livres com carga negativa dentro do plasma ``blindam'' o efeito das cargas positivas livres. Este fenômeno é conhecido como blindagem (figura (3.1)). Podemos também estudar o efeito de interação de campos magnéticos clássicos com o plasma. Neste caso, obtemos uma expressão muito semelhante à Eq. (3.22), com $m_{el}$ sendo trocado pela massa magnética, definida por:

$$m_{mag}^2 \equiv \Pi_1 = \Pi^{ii}(0,\vec{0}).$$ (3.22)

Figura 3.1: Fenômeno de blindagem dentro do plasma.

O efeito de blindagem foi extensamente estudado em $(3+1)$ dimensões e vários resultados são conhecidos. Na $QED_4$, por exemplo, as massas físicas foram calculadas até ordem $e T$ em [14,15], como sendo:

$$m_{el}= \frac{e T}{\sqrt{3}} + {\cal O} (e^2 T), \qquad m_{mag} = 0.$$ (3.23)

Já para a eletrodinâmica escalar, as massas físicas foram calculadas em [38] e são dados por:

$$m_{el}= \frac{e T}{\sqrt{3}} + {\cal O} (e^2 T), \qquad m_{mag} = 0.$$ (3.24)

Neste capítulo faremos uma análise do processo de blindagem em $(2+1)$ dimensões. Este estudo é interessante e como veremos, apresenta novos resultados com relação ao caso quadridimensional por vários motivos. Qualitativamente, no plano, sabemos que o termo de Chern-Simons assume um papel muito importante em teorias de calibre, alterando consideravelmente as características magnéticas do modelo. Na teoria de Maxwell-Chern-Simons-Higgs na fase quebrada, por exemplo, já podemos perceber o seu efeito no propagador, Eq. (2.53). Note que ele possui duas massas distintas $m_{\pm}$. Assim, se estas massas continuarem a existir no cálculo perturbativo, fica a questão de como generalizar este processo, de forma a englobá-las. Vale salientar que em $(2+1)$ dimensões, devido à mudança $d^3 k \rightarrow d^2 k$, embora o potencial entre duas cargas não possa mais ser escrito através da Eq. (3.22), ele ainda pode ser determinado como sendo:

$$\sim \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + \Pi_{00}(0,\vec{k})}$$

$$\equiv \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} \frac{1}{\vec{k}^2 + m_{el}^2}$$

$$\sim K_0(m_{el} R) \approx \frac{e^{- m_{el} R}}{\sqrt{m_{el} R}},$$ (3.25)

onde $K_0$ é a função de Bessel modificada, e estamos considerando o seu comportamento assintótico para grandes valores de $R$.