Teoria da Resposta Linear

O objetivo da teoria da resposta linear é calcular a alteração sofrida por um sistema, inicialmente em equilíbrio térmico, devido à uma pequena perturbação externa. A correção é medida, em primeira ordem na variável externa, através da variação na média estatística dos observáveis. Apresentaremos a seguir as linhas gerais desta teoria. Este tipo de discussão pode ser encontrado em vários livros didáticos [3,5,6]. Nós seguiremos o estudo desenvolvido em [3].

Vamos considerar um sistema quântico em equilíbrio, expresso, na representação de Schrödinger pelo operador hamiltoniana $\hat{H}$ independente do tempo e pelo vetor de estado $\vert\psi_S(t)\rangle$. Agora, suponhamos que em $t=t_0$ uma fraca perturbação externa ao sistema, $H^{ext}$, seja ligada. Devido a esta mudança, o vetor de estado passa de $\vert\psi_S(t)\rangle$ para $\vert\bar{\psi}_S(t)\rangle$. A evolução temporal destes vetores é governada pelas equações:

$$i \hbar \frac{\partial}{ \partial t} \vert \psi_S(t) \rangle = \hat{H} \vert \psi_S(t)\rangle,$$ (3.1)

e

$$i \hbar \frac{\partial}{ \partial t} \vert \bar{\psi}_S(t)\r... ...hat{H} + \hat{H}^{ext}(t)\right] \vert \bar{\psi}_S(t)\rangle.$$ (3.2)

No primeiro caso, isto é, para o sistema não perturbado, a solução de (3.1) é dada por:

$$\vert \psi_S(t)\rangle = e^{- i \hat{H} t/\hbar} \vert \psi_S(0)\rangle. \qquad t<t_0$$ (3.3)

Já para $t>t_0$, vamos considerar que a solução da equação da Eq. (3.2) possa ser escrita como:

$$\vert \bar{\psi}_S(t)\rangle = e^{- i \hat{H} t/\hbar} \hat{A} (t)\vert \psi_S(0) \rangle,$$ (3.4)

com $\hat{A}(t)=1$ para $t \le t_0$. Para que (3.4) satisfaça (3.2), $\hat{A}(t)$ deve obedecer à seguinte equação:

$$i \hbar \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}(t) = \hat{H}_H^{ext} (t) \hat{A}(t),$$ (3.5)

onde $\hat{H}_H^{ext} (t) \equiv e^{ i \hat{H} t/\hbar} \hat{H}^{ext} e^{ - i \hat{H} t/\hbar}$ é o operador hamiltoniana externa na representação de Heisenberg. Se considerarmos que $\hat{H}^{ext}$ seja pequeno, então $\hat{A}(t)$, até primeira ordem em $\hat{H}^{ext}$, pode ser expresso como:

$$\hat{A}(t) = 1 - i \hbar^{-1} \int_{t_0}^t d t' \hat{H}_H^{ext} (t'),$$ (3.6)

de tal forma que o novo vetor de estado, Eq. (3.4), torna-se:

$$\vert \bar{\psi}_S(t)\rangle = e^{- i \hat{H} t/\hbar} \hat{A}(t)\vert\psi_S(0)\rangle$$

$$= e^{- i \hat{H} t/\hbar}\left[1 - i \hbar^{-1} \int_{t_0}^t d t' \hat{H}_H^{ext} (t')\right] \vert \psi_S(0)\rangle.$$ (3.7)

Com este resultado podemos calcular o valor esperado de um observável qualquer $\hat{\cal O}$ no estado final como sendo:

$$\langle \hat{\cal O}(t) \rangle \equiv \langle \bar{\psi}_S(t) \vert \hat{\cal O} \vert\bar{\psi}_S(t) \rangle$$

$$= \langle \hat{\cal O}_H \rangle_{n.p.} + i \hbar^{-1} \int_{t_0}^t d t' \langle [\hat{H}_H^{ext} (t'), \hat{\cal O}_H (t) ] \rangle_{n.p.},$$ (3.8)

onde estamos considerando somente termos lineares em $\hat{H}_H^{ext}$ e o índice $n.p.$ indica que a média está sendo tomada com relação ao sistema não perturbado. Além disso, o símbolo $[,]$ indica o comutador. Da expressão acima, obtemos a variação sofrida por ${\cal O}$ como sendo:

$$\delta \langle \hat{\cal O} (t)\rangle \equiv \langle \hat{\cal O}(t) \rangle -\langle \hat{\cal O}(t) \rangle_{n.p.}$$

$$= i \hbar^{-1} \int_{t_0}^t d t' \langle [\hat{H}_H^{ext} (t'), \hat{\cal O}_H (t) ] \rangle_{n.p.},$$ (3.9)

o que, em termos do operador densidade $\hat{\rho}$ e da função de partição $Z$ pode ser escrito como:

$$\delta \langle \hat{\cal O} (t) \rangle = i \hbar^{-1} Z^{-1... ...Tr} \, \hat{\rho} [\hat{H}_H^{ext} (t'), \hat{\cal O}_H (t) ].$$ (3.10)