Cálculo exato na $QED_3$ com termo de Chern-Simons

Como foi visto na seção anterior, a massa magnética na $QED_3$ mesmo com a inclusão na teoria de um termo de Chern-Simons, é nula a um laço. Na análise desenvolvida, este resultado foi uma consequência de $\Pi_1=0$ no limite estático e é, de certa forma, reminiscente do resultado encontrado na $QED_4$. Este comportamento é surpreendente, uma vez que em $(2+1)$ dimensões o termo de Chern-Simons assume um papel importante na teoria fermiônica, modificando intrinsicamente seu carácter eletromagnético. Mesmo assim, ele não é suficiente para gerar uma massa magnética ao sistema. Um estudo detalhado desta questão foi desenvolvido em [27]. Naquele trabalho mostramos que $\Pi_1=0$, através de um cálculo direto a dois laços e de um prova geral, válida em qualquer ordem de perturbação. Apresentaremos a seguir tal análise.

Da decomposição do tensor de polarização, Eq. (3.59), podemos concluir que, para uma dimensão $D$ qualquer, $\Pi_1(0)$ pode ser escrito como:

$$\Pi_1(0) = \frac{1}{D-2} \Pi_{ii} (0) = \frac{1}{D-2} \Pi_{ii (PC)}(0), \qquad D > 2,$$ (3.98)

ou seja, $\Pi_1$ não depende da estrutura do termo com quebra de paridade do tensor de polarização e pode ser determinado diretamente de $\Pi_{ii}$.

Indo para o cálculo a um laço podemos expressar $\Pi_{\mu \nu}$ como sendo:

$$\Pi_{\mu \nu}^{(1)}(p) = e^2 \int \frac{d^D k}{(2 \pi)^D} \mbox{Tr} \left[\gamma_{\mu} S^{(0)} (k+p)\gamma_{\nu} S^{(0)} (k)\right]$$

$$= \frac{e^2}{\beta} \sum_n \int \frac{d^{D-1} k}{(2 \pi)^{D-1}} \mbox{Tr} \left[\gamma_{\mu} S^{(0)} (k+p)\gamma_{\nu} S^{(0)} (k)\right],$$ (3.99)

onde os índices $(0)$ e $(1)$ indicam respectivamente as aproximações de árvore e um laço. Usando que:

$$\mbox{Tr} \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} = -2^{[\frac{D}{2}]} \delta_{\mu \nu} = - C(D) \delta_{\mu \nu},$$ (3.100)

onde $\left[\frac{D}{2}\right]$ representa o maior inteiro menor ou quanto muito igual a $\frac{D}{2}$, e $C(D)\equiv \left[\frac{D}{2}\right]$, podemos escrever $\Pi_1^{(1)}(0)$ com o uso das Eqs. (3.109) e (3.110) como sendo:

$$\Pi_1^{(1)} (0) = \frac{1}{D-2} \Pi_{ii}^{(1)} (0)$$

$$= \frac{1 }{D-2} \frac{1}{\beta}\sum_n \int \frac{d^{D-1}k }{(2 \pi... ...pha} k_{\alpha} ) \gamma_i (m_F - \gamma_{\rho} k_{\rho} ) } {(k^2 + m_F^2)^2 }$$

$$= - \frac{C(D) e^2}{2(D-2)}\int \frac{d^{D-1} k}{(2 \pi)^{D-1}} \le... ...tial}{\partial w_k}\right] \left[\frac{ \tanh(\frac{\beta w_k}{2})}{w_k}\right]$$

$$= - \frac{1}{D-2}\frac{C(D) e^2}{2^{D-1} \pi^{\frac{D-1}{2}} \Gamma(\frac{D-1}{2}) }$$

$$\times \int_0^{\infty} dk k^{D-2}\left[(D-1) + \frac{k^2}{w_k} \frac{\partial}{\partial w_k}\right] \left[\frac{ \tanh(\frac{\beta w_k}{2})}{w_k}\right],$$ (3.101)

onde $w_k^2 = \vec{k}^2 + m_F^2$. Considerando somente o termo dependente da temperatura, temos:

$$\Pi_1^{(1)(\beta)} (0) = \frac{1}{D-2}\frac{C(D) e^2}{2^{D-2} \pi^{\frac{D-1}{2}} \Gamma(\frac{D-1}{2}) }$$

$$\times \int_0^{\infty} dk k^{D-2}\left[(D-1) + \frac{k^2}{w_k} \frac{\partial}{\partial w_k}\right] \left[\frac{ n_F(w_k)}{w_k}\right],$$ (3.102)

onde $n_F$ representa a distribuição de Fermi-Dirac, ou seja,

$$n_F(x) = \frac{1}{e^{\beta x} +1}.$$ (3.103)

Agora, fazendo uma mudança na variável de integração chegamos a:

$$\Pi_1^{(1)(\beta)} (0) = \frac{1}{D-2}\frac{C(D) e^2}{2^{D-2} \pi^{\frac{D-1}{2}} \Gamma(\... ...\partial w_k}\left[ (w^2_k - m_F^2)^{\frac{D-1}{2}} \frac{n_F(w_k)}{w_k}\right]$$

$$= 0,$$ (3.104)

para $D \geq 2$. Este resultado, em geral, é válido somente para o termo com temperatura finita, que não apresenta divergência ultravioleta. Em uma dimensão $D$ qualquer, a contribuição independente da temperatura não pode ser incluída na expressão acima, devido a problemas com divergência ultravioleta. Em $(2+1)$ dimensões, porém, inclusive este termo pode ser considerado, uma vez que a divergência ultravioleta nele existente pode ser renormalizada [9]. Em tal situação, mesmo o termo independente da temperatura se anula.

É de se esperar que um cálculo a dois laços seja mais complicado, mas lembrando que o anulamento de $\Pi_1$ a um laço deu-se devido a uma derivada total do integrando, podemos buscar este mesmo tipo de estrutura a dois laços. Com esta expectativa, vamos estudar tal correção. Neste caso, existem dois diagramas a serem calculados, $\Pi_{\mu \nu}^{(a)}$ e $\Pi_{\mu \nu}^{(b)}$, figura (3.4), respectivamente expressos por:

$$\Pi_{\mu \nu}^{(a)} = e^4 \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} D_{\b... ...frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} N_{\mu \alpha \nu \beta}^{(a)} (p,q,k),$$ (3.105)

e

$$\Pi_{\mu \nu}^{(b)} = e^4 \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} D_{\b... ...frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} N_{\mu \alpha \nu \beta}^{(b)} (p,q,k),$$ (3.106)

onde definimos:

$$N_{\mu \alpha \nu \beta}^{(a)} (p,q,k) = \mbox{Tr} \gamma_{\... ...amma_{\alpha} S(k+p+q) \gamma_{\nu} S(k+q)\gamma_{\beta} S(k),$$ (3.107)

e

$$N^{(b)}_{\mu \alpha \nu \beta} (p,q,k) = \mbox{Tr} \gamma_{\... ... \gamma_{\nu} S(k) \gamma_{\alpha} S(k+q) \gamma_{\beta} S(k).$$ (3.108)

Figura 3.4: Auto-energia do fóton a dois laços.

Podemos simplificar estas expressões utilizando a invariância de calibre da teoria. Assim, definindo a amplitude com quatro fótons externos a um laço, $\Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p -q)$, como sendo:

$$\Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p -q)\equiv \int \frac... ...a)} (p,q,k) + 2 N_{\mu \alpha \nu \beta}^{(b)} (p,q,k)\right],$$ (3.109)

então vale que:

$$q_{\alpha} \Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p -q) = 0,$$ (3.110)

devido à invariância de calibre de $\Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p -q)$. Desta forma temos que:

$$D_{\beta \alpha} (q) \Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p... ...mbda}}{q^2}\right]\Gamma_{\mu \alpha \nu \beta} (p, q, -p -q).$$ (3.111)

Com estas simplificações sendo utilizadas, somamos as duas contribuições ao tensor de polarização a dois laços, finalmente chegando, após algumas manipulações algébricas, a:

$$\Pi_1^{(2)}(0) = 4 e^4 \int \frac{d^3 q}{(2 \pi)^3} \frac{1}{q^2 + \kappa^2}$$

$$\times \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3} \frac{\partial}{\partial k_i}\left\{... ...t[q^2 + 4 m_F(\kappa - m_F)\right]}{(k^2 + m_F^2)^2[(k+q^2)^2 + m_F^2]}\right\}$$

$$= 0,$$ (3.112)

ou seja, de maneira análoga ao cálculo a um laço, chegamos a uma derivada total que se anula na integração $\int d^3 k$, incluindo o termo com temperatura nula.