A Relação On-Shell

Os resultados obtidos nas equações (4.11) e (4.14) mostram que, em uma rede finita e para um dado modo $\vec{k}$ existe uma quantidade fixa, um ``pacote de energia''. Para o estado de uma partícula temos um destes pacotes, para o estado de duas partículas temos dois destes pacotes e assim por diante.

Precisamos agora interpretar o significado deste pacote de energia. Pictoricamente podemos pensar que existe uma onda propagando-se no espaço com momento $\vec{k}$ bem definido. Se esta onda não carrega partículas temos E₀ e estamos no estado de vácuo. Se ela carrega uma partícula de momento $\vec{k}$ temos E₁ e estamos no estado de uma partícula e assim por diante. O espectro de energia do modelo pode então ser expresso por uma ``escada'' de espaçamento fixo dado por (4.14). A figura (4.2) expressa estas idéias.

Figure: ``Escada'' dos níveis de energia.

Para que esta partícula seja física, é preciso que esta ``escada'' sobreviva no limite de tempo infinito mantendo uma magnitude finita para os seus degraus, isto porque de alguma forma ela está associada à energia da partícula.

Assim, precisamos que $\Delta E_{\vec{k}}$ tenha um limite finito neste caso, no espaço de Minkowski. Para irmos para este espaço fazemos uma rotação de Wick, $\rho_0 \rightarrow \imath \rho_0$ e $T \rightarrow \imath T$, e considerando o momento dimensional $p_{\mu}\equiv \rho_{\mu}/a$ temos

$$\Delta E_{\vec{k}}^{(M)} = - \frac{1}{T} \left[ \frac{p^2_0 ... ...t(\sqrt{\mathbf{p}^2 + m_0^2} + p_0\right)} \right]_{\vec{k}},$$ (4.17)

onde o índice M indica que estamos no espaço de Minkowski, $\mathbf{p}^2\equiv\sum_i p_i^2$ e $m_0^2\equiv\alpha_0/a^2$ é a massa da partícula. O limite $\left(\lim_{T \rightarrow \infty} \Delta E_{\vec{k}}\right)$ torna-se finito e positivo para um conjunto especial de modos, aqueles que satisfazem à relação

$$-T \left(\sqrt{\mathbf{p}^2 + m_0^2} - p_0\right)= +\vert A \vert$$

onde A é uma constante finita a se determinar. Rearranjando os termos da equação acima temos

$$p_0=\sqrt{\mathbf{p}^2 + m_0^2} + \frac{\vert A \vert}{T},$$

que denominaremos ``relação on-shell na rede''. Tomando o limite de tempo infinito da equação (4.17) obtemos, para os modos que obedecem a relação on-shell,

$$\lim_{T \rightarrow \infty} \Delta E_{\vec{k}} = \frac{1}{\vert A \vert} \sqrt{\mathbf{p}^2 + m_0^2}.$$ (4.18)

Podemos então dizer que os estados on-shell são aqueles para os quais o valor de $\Delta E_{\vec{k}}$ é finito e não nulo no limite de tempo infinito.

Além disso, da relação on-shell tiramos que

$$\sqrt{{\mbox{\boldmath$\mathfrak{\rho}$}}^2 + \alpha_0}- \rho_0 = - \frac{\vert A \vert}{T},$$

o que implica que

$$\sqrt{{\mbox{\boldmath$\mathfrak{\rho}$}}^2 + \alpha_0}-\rho_0 < 0,$$

ou seja, que

$${\mbox{\boldmath$\mathfrak{\rho}$}}^2 + \alpha_0 < \rho_0^2.$$ (4.19)

Este resultado identifica um grupo especial de vetores no espaço de momentos que, pelas suas características, denominaremos de vetores tipo time-like. Para estes vetores o valor da escada é positivo. Observe que o momento ${\mbox{\boldmath$\mathfrak{\rho}$}}$ e a energia $\rho_0$ obedecem à relação válida para uma partícula relativística em uma visão na rede.

Para obter o valor da constante A vamos considerar um ``limite clássico'' de baixos momentos. Neste caso sabemos da relatividade especial que

$$\lim_{\vec{p} \rightarrow 0} \Delta E_k = m_0 c^2.$$

Comparando este resultado com a equação (4.18) vemos que o valor absoluto de A está relacionado simplesmente com uma escolha na escala de energia, ou seja, nas unidades que utilizamos para medir objetos com dimensão de energia.