Generalização de ${\bf H}$

Segundo o que acabamos de calcular na seção anterior, a definição assumida na equação (4.1) implicou na escolha de um grupo específico de modos na rede, aqueles definidos pela equação (4.19), de forma que $\Delta E_{\vec{k}}$ fosse finito, não nulo e positivo no limite. Fica a pergunta de como modificar esta definição de H sem perder o seu conteúdo físico, mas de forma a incluir modos space-like no espaço de momentos, definidos como

$${\mbox{\boldmath$\mathfrak{\rho}$}}^2 + \alpha_0 > \rho_0^2.$$

Vale salientar que conforme o que acabamos de observar, os modos que têm conteúdo físico são aqueles que satisfazem a relação on-shell no limite do contínuo,

p₀²=p² + m₀²

e para os quais a escada sobrevive com um valor positivo e não-nulo no limite do contínuo. Porém, a partir da rede podemos ir para este limite por dois caminhos: pelos modos tipo space-like ou pelos modos tipo time-like. Note que não existe, a princípio, nenhuma necessidade física de escolhermos um destes particulares subgrupos, pois apesar de vetores tipo space-like no espaço de momentos representarem partículas com mais momento que energia, estamos interessados no limite do contínuo, onde os modos devem ser on-shell. Pensando que os modos físicos devem ter este comportamento apenas no limite, não é relevante o caminho escolhido. Assim tentaremos modificar ${\bf H}$ de forma a obter os vetores space-like na rede. Fazemos isso invertendo o seu sinal em (4.1). Esta inversão não modifica o sinal de ${\cal{L}}$ e portanto não modifica a dinâmica do sistema expressa por e^-S. Repetindo os cálculos com esta nova definição chegamos a

$$\Delta E_{\vec{k}} \equiv \Delta E_{\vec{k},1} \equiv E_{\ve... ...{\rho}$}}^2 + \alpha_o}{\rho^2 + \alpha_0} \right)_{\vec{k}},$$

o que implica em vetores tipo space-like para que a escada seja positiva.

Temos portanto duas definições para a Hamiltoniana do sistema, cada uma delas para um conjunto específico de momentos. Assumindo uma delas como válida de forma geral para todos os tipos de momentos temos então energias positivas e negativas, dependendo de quais momentos estejamos olhando. Não conseguimos porém, para este modelo, uma definição geral que englobe os dois subgrupos de momentos e que implique em energias positivas sempre.

Resumindo o que vimos até aqui, o que temos são dois observáveis: um observável número de partículas bem definido e um observável energia que está bem definido para certos momentos e mal definido para outros (assumindo umas das duas definições de ${\bf H}$). Na verdade isso não é muito estranho, porque na própria quantização do campo escalar no contínuo esta dificuldade ao lidar com energias negativas já aparecia. Uma possível generalização deste trabalho seria estudar modelos com carga, por exemplo, o campo escalar complexo. Neste caso, teríamos que redefinir os ensembles o que possibilitaria o surgimentos de novos resultados.