Mecânica Quântica

Considerando o caso particular d=1 temos para a equação (4.12)

$$-\frac{\imath}{T}\sum_{k_0=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\frac{\alpha_0}{\rho_0^2 + \alpha_0}$$ E₀ =

$$-\frac{\imath}{T}\sum_{k_0=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\frac{w^2}{w^2+\frac{4N_T^2} {T^2} \rm {sin}^2{\left(\frac{k_0 \pi}{N_T}\right)}},$$ = (4.15)

onde $w^2 \equiv \alpha/a^2\equiv m_0^2$ e estamos considerando uma rede ímpar.

Para analisar a expressão acima vamos inicialmente para o espaço de Minkowski, através da rotação de Wick $E \rightarrow \imath E$. Neste caso temos que

$$\frac{1}{T}\sum_{k_0=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\frac{\alpha_0}{\rho_0^2 + \alpha_0}$$ E₀ =

$$\frac{1}{T}\sum_{k_0=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\frac{w^2}{w^2+\frac{4N_T^2} {T^2} \rm {sin}^2{\left(\frac{k_0 \pi}{N_T}\right)}}.$$ = (4.16)

Olhando para o comportamento da expressão acima no limite $w \sim 0$ com N fixo, pode-se demonstrar que neste caso $E_0 \sim 1/T$.

Para w >> 1/T tomamos paralelamente o limite $N\rightarrow \infty$. Neste caso $E_0 \sim w/2$. Graficamente temos a situação mostrada na figura (4.1).

Figure: Energia do vácuo para o caso unidimensional e $N\rightarrow \infty$.

Em analogia com a Mecânica Quântica, podemos mapear o resultado acima em um oscilador harmônico unidimensional de frequência w. Para baixas energias temos efeitos devidos ao tamanho finito da caixa, expressos pelo fator 1/T.

Para d>1 repetimos o análise acima, simplesmente substituindo w por $\sqrt{{\mathbf{p}}^2 + m_0^2}$, chegando ao resultado para altos valores de w e considerando o limite de tempo infinito,

$$E_0 \sim \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{k}} \sqrt{{\mathbf{p}_{\vec{k}}}^2+m_0^2}$$

onde $\mathbf{p}^2\equiv\sum_i p_i^2$, $m_0^2\equiv\alpha_0/a^2$ e $p_{\mu}\equiv \rho_{\mu}/a$. Esta energia pode ser interpretada como sendo a soma de N^d-1 osciladores harmônicos unidimensionais, que no limite do contínuo é divergente.