Conclusões e Perspectivas

Analisando os resultados obtidos alguns pontos podem ser assinalados. Em primeiro lugar, pode-se discutir o que representa a escada finita e positiva tanto na rede Euclidiana quanto no limite do contínuo na teoria livre. A interpretação que podemos tirar é a existência de uma onda plana propagando-se (onda plana porque tem momento $\vec{k}$ bem definido e portando posição indefinida) e partículas sendo ``carregadas'' nela: nenhuma partícula representa o estado de vácuo, uma partícula de massa m representa o estado de uma partícula, duas partículas de massa m representam o estado de duas partículas e assim por diante. Esta análise na rede aparece para qualquer modo. Já ao se tomar o limite do contínuo alguns modos são selecionados, aqueles para os quais a escada sobrevive com degraus positivos, finitos e não-nulos, ditos modos on-shell.

Na teoria interagente aparece outro resultado interessante: a reprodução dos resultados da teoria livre apenas com a substituição $\alpha_0 \rightarrow \alpha_R$. Este é um indicativo da trivialidade da teoria em d=4 pois representa novamente apenas a propagação de ondas planas. Fica em aberto a pergunta sobre qual tipo de interação seria não trivial, no sentido de não mais reproduzir a escada no limite do contínuo. Uma resposta emergente é que a inclusão em teorias com derivadas de termos com auto-interações locais nos campos não é uma mudança suficientemente forte para quebrar este comportamento. Assim, a procura de uma teoria não trivial indica a necessidade de outras formas de interação, ou seja, interação entre diferentes tipos de campos. Um exemplo paradigmático deste tipo de estrutura é a eletrodinâmica quântica.

Vale também discutir a dificuldade encontrada na definição de uma única Hamiltoniana para quaisquer tipos de modos na rede, que indica uma possível continuidade deste trabalho: a análise de um modelo com cargas elétricas, por exemplo o campo escalar carregado no qual o campo é complexo. Neste caso teríamos que modificar a definição dos ensembles de partículas de forma a diferenciar partículas com cargas diferentes.

Com a definição de ensembles apropriados e a construção dos observáveis por analogia com a teoria clássica, verificamos que é possível discutir os conceitos de energia e de número de partículas em uma rede Euclidiana. O gráfico (5.9), mostrando que o número de partículas torna-se inteiro na imediações da linha crítica do modelo não-linear, é particularmente interessante.

Observe-se também que os estados definidos aqui são objetos intrinsecamente quadridimensionais. No âmbito destas idéias o conceito de estado num tempo bem definido só aparece de forma aproximada, dentro de uma caixa quadridimensional com extensão temporal pequena mas não-nula.

Finalizando, algumas das dificuldades técnicas encontradas nos induzem a pensar em simular diretamente não apenas o estado de vácuo e sim os estados com $n\not=0$ partículas. Para isso precisamos utilizar outro algoritmo de geração das configurações com uma distribuição dada não mais por e^-S e sim por $e^{-S} {\vert \tilde{\varphi}_{\vec{k}} \vert}^{2n}$. Desta maneira os erros encontrados para os observáveis de n partículas diminuiriam consideravelmente. Tais algoritmos existem, mas não são particularmente eficientes, devido ao fato de que o fator $e^{-S} {\vert \tilde{\varphi}_{\vec{k}} \vert}^{2n}$ é profundamente não local no espaço de coordenadas, conflitando desta forma com o caráter local das atualizações estocásticas da ação S. Temos aqui, desta forma problemas técnicos semelhantes àqueles que se encontra para a simulação de Férmions dinâmicos. Esta faceta técnica representa outra direção importante de desenvolvimento para futuros trabalhos.