Teoria Quântica de Campos no Contínuo

O formalismo canônico [4] parte do modelo da Mecânica Clássica, definindo inicialmente a Lagrangiana que rege o sistema, os campos clássicos e os seus respectivos momentos conjugados. Em sua forma mais usual, este formalismo é examinado no âmbito da linguagem tradicional da Mecânica Quântica, onde estados são representados por vetores em um espaço de Hilbert e observáveis por operadores neste espaço. A quantização canônica é realizada aplicando-se as relações de comutação aos campos e seus momentos conjugados. Com o uso destas definições podemos estudar a energia do sistema através de sua Hamiltoniana.

No formalismo de integração funcional [5] os observáveis são escritos em termos das funções de Green $G^{(n)}(\vec{x}_1,...,\vec{x}_n)$,

$$G^{(n)}(\vec{x}_1,...,\vec{x}_n)=(-\imath)^n \frac{\delta^n}{\delta J(\vec{x}_1)...\delta J(\vec{x}_n)} Z(J) \lfloor_{J=0}$$ (2.1)

onde $\vec{x}_i$ são vetores posição no espaço-tempo, Z(J) é o funcional gerador das funções de Green definido como

$$Z(J)=\rho \int [d\phi] e^{\imath \int {\cal L} d^4x + \imath \int J(x) \phi(x) d^4x},$$ (2.2)

J são as fontes externas e $\rho$ é tomado de forma que Z(0)=1. A integração funcional que se vê aqui é uma operação formal, que se assume ter as propriedades usuais de uma integração.

Reescrevendo a equação (2.1) depois de tomadas as derivadas funcionais temos

$$G^{(n)}(\vec{x_1},...,\vec{x}_n)=\rho \int [d\phi] e^{\imath S(\phi)}\phi(\vec{x}_1)...\phi(\vec{x}_n).$$ (2.3)

Como exemplo temos a função de Green de dois pontos,

$$G^{(2)}(\vec{x}_1,\vec{x}_2)=\rho \int [d\phi] e^{\imath S(\phi)}\phi(\vec{x}_1)\phi(\vec{x}_2).$$ (2.4)

Os observáveis da teoria neste formalismo devem portanto ser calculados em termos das integrais funcionais acima. Existem entretanto poucos casos onde este tipo de integral é solúvel analiticamente. Um deles é a teoria do campo escalar real livre. Neste modelo conseguimos calcular exatamente as funções G⁽ⁿ⁾ desde que executemos uma rotação de Wick ( $t \rightarrow it$), o que nos leva ao espaço Euclidiano onde a exponencial não oscila. Os resultados obtidos são interpretados através de extensão analítica, retornando para o espaço de Minkowski, onde podemos obter as interpretações físicas da teoria. Já para o caso da teoria interagente não conseguimos calcular exatamente as funções G⁽ⁿ⁾. No caso da Teoria Quântica de Campos no contínuo resta como única possibilidade de análise o desenvolvimento de uma teoria de perturbações em torno da teoria livre. O exemplo notório desta abordagem perturbativa é a eletrodinâmica quântica, onde o cálculo perturbativo prediz os valores experimentais com grande precisão.

Cada uma das abordagens acima encaminha o estudo quântico para uma determinada direção. Nesse processo, aspectos da teoria abordados em um dos formalismos muitas vezes não podem ser observados de maneira trivial no outro formalismo. Por exemplo, a construção de um Espaço de Hilbert a partir da definição da teoria na rede é uma conquista não trivial, realizada por Osterwalder e Schrader ([2], [3]).

Outro exemplo é o conceito de energia. No formalismo canônico ele aparece naturalmente e até implica em características importantes dos sistemas, como a necessidade de relações de anti-comutação para férmions. Este conceito, porém, é obscuro no formalismo de integração funcional porque implica em cálculos difíceis de se realizar. Mais ainda, o conceito de partícula não surge naturalmente. Ele aparece indiretamente, estando sua massa relacionada com o pólo de um de seus observáveis, o propagador.

O objetivo deste trabalho é estudar estes conceitos no formalismo da rede Euclidiana, que está diretamente relacionado com o formalismo de integração funcional.