Caso Não Comutativo

Nesta seção iremos calcular a forma geral das integrais que aparecem no cálculo das amplitudes no espaço não comutativo. Vamos utilizar para isso algumas das técnicas sugeridas em [50]. Considere assim a seguinte definição:

$$I(M) \equiv \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{\coth{(\beta w_M/2)}}{w_M}.$$

$$= \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{1}{w_M} + 2 \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{n_B(w_M)}{w_M}.$$

$$\equiv I^{(0)}(M) + I^{(\beta)}(M),$$ (A.21)

onde $M$ é definido em (4.41) e $w_M^2 = \vec{k}^2 + M^2$ (esta integral aparece na Eq. (4.55)). Além disso, utilizamos a decomposição da cotangente em termos da funcão distribuição $n_B(x)\equiv (e^{\beta x}-1)^{-1}$ para obter separadamente as contribuições independente e dependente da temperatura, respectivamente expressos por $I^{(0)}(M)$ e $I^{(\beta)}(M)$.

Para o termo com $T=0$ temos

$$I^{(0)}(M) \equiv \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{1}{w_M}.$$ (A.22)

Esta integral pode ser facilmente resolvida se utilizarmos alguns resultados conhecidos a respeito das funções de Bessel $(J_n)$ [51], mais especificamente a seguinte relação:

$$\int_1^{\infty} dx (x^2 -1)^{\nu/2} e^{- \alpha x} J_{\nu}[\rho \sqrt{x^2 -1}]$$

$$= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\rho^{\nu} (\alpha^2 + \rho^2)^{-\nu/2 - 1/4} K_{\nu + 1/2} (\sqrt{\alpha^2 + \rho^2}),$$ (A.23)

Assim, considerando $\nu = 1$, $\alpha = 0$ e $\rho = \tilde{p} M$ podemos reescrever $I^{(0)}(M)$ como:

$$I^{(0)}(M) = \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{1}{w_M}$$

$$= M^2 \int_1^{\infty} dy \sqrt{y^2 -1} J_1[\tilde{p} M \sqrt{y^2 -1}]$$

$$= M^2 e^{- \tilde p M} \left[\frac{1}{\tilde p M} + \frac{1}{(\tilde p M)^2}\right],$$ (A.24)

que é exatamente o resultado considerado na Eq. (4.57).

No cálculo do termo dependente da temperatura vamos utilizar a seguinte igualdade para a função distribuição de Bose-Einstein:

$$\frac{1}{e^x-1}= \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}.$$ (A.25)

Desta forma podemos reescrever $I^{(\beta)}(M)$ como

$$I^{(\beta)}(M) = 2 \int_0^{\infty} k^2 dk J_1 (k \tilde{p}) \frac{n_B(w_M)}{w_M}.$$

$$= M^2 \sum_0^{\infty} \int_1^{\infty} dy \sqrt{y^2 - 1} e^{-\beta M n y } J_1[\tau \beta M \sqrt{y^2 -1}].$$ (A.26)

Novamente podemos utilizar a Eq. (A.23), considerando desta vez $\nu = 1$, $\alpha = \beta M n$ e $\rho = \tau \beta M$. Assim chegamos ao seguinte resultado:

$$I^{(\beta)}(M) =\tilde p M T^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{... ...\frac{e^{- \beta M \sqrt{n^2 + \tau^2}}}{(n^2 +\tau^2)^{3/2}},$$ (A.27)

que foi utilizado na Eq. (4.58).