Este curso de palestras tem como objetivo a introdução dos alunos às técnicas matemáticas clássicas da física teórica. Por um lado, ele pretende passar aos alunos uma compreensão séria da matemática envolvida, e por outro lado ele pretende preparar os alunos para as disciplinas mais avançadas subsequentes, em especial as de eletromagnetismo e de mecânica quântica. Trata-se portanto de um curso formativo, e não puramente informativo. Ele pretende gerar, não o simples acúmulo de conhecimento, mas principalmente as habilidades intelectuais envolvidas no uso da matemática, bem como a destreza técnica necessária para o tratamento de problemas de física. Ele pretende fazer isto levando a matemática a sério, mas mantendo sempre o ponto de vista da física, através da discussão de problemas de física.

Para poder alcançar estes objetivos, é essencial que os alunos treinem ativamente, de forma que os mais de 380 problemas que estão incluídos no material do curso são parte integrante e essencial dele. Os alunos não devem se iludir pensando que apenas assistir às aulas seja suficiente para que eles venham a ter sucesso neste curso. As palestras são cuidadosamente editadas e disponibilizadas através da rede, para que os alunos possam consultar o material a qualquer tempo, estudar e seguir em detalhe cada argumento apresentado. É altamente recomendável que os alunos leiam as palestras antes de cada aula. Estudar as palestras, suas próprias notas de aula e a bibliografia, e tentar fazer os problemas propostos são as atividades mais essenciais do aluno.

O material coberto neste curso é extenso e difícil, e os alunos não devem de forma alguma pensar que cursar as disciplinas nas quais ele é apresentado seja uma tarefa fácil. Entretanto, acredito que a estrutura do curso fornece aos alunos uma chance boa e real de aprendizagem de uma parte significativa do material coberto, e de desenvolvimento de suas habilidades matemáticas.

Atualmente as primeiras três partes deste curso, que são apresentadas na disciplina FMA204, são executadas através de aulas expositivas e de aulas de exercícios esporádicas, totalizando três aulas por semana, pelo único motivo de que isto é tudo que é possível fazer com os insumos disponíveis. As partes subsequentes são apresentadas na disciplina FMA307, seguindo o mesmo esquema, mas com apenas duas aulas por semana, Os exercícios são propostos mas não são cobrados como nota. O motivo principal disto é que acredito que não devemos confundir instrumentos de aprendizagem com instrumentos de avaliação. As listas de problemas e as palestras são instrumentos de aprendizagem. A avaliação é feita exclusivamente através de exames. Sendo possível obter monitores para as disciplinas, a principal função deles será a de dar apoio aos estudantes, discutindo com eles a matéria e os problemas propostos. Todo este esquema está longe de ser o ideal, mas é o que é possível fazer dentro da atual estrutura da Universidade, com os recursos disponíveis.

Este curso adota uma abordagem um tanto diferente da usual, tanto em termos de abordagem de cada assunto quanto de ordem dos assuntos. Ele não inclui uma faceta computacional explícita, mas apenas devido à falta dos meios, do tempo e da infra-estrutura que seriam necessários. Ele pretende, entretanto, deixar abertas as conexões com os aspectos computacionais que inevitavelmente fazem parte de qualquer atividade contemporânea na física teórica, característica esta que tende a se acentuar com o tempo.

O programa completo abaixo está em desenvolvimento, e possivelmente ainda pode sofrer algumas mudanças. As três primeiras partes estão completamente finalizadas e a quarta está essencialmente em sua forma final, mas as partes subsequentes ainda estão incompletas ou faltando de todo. Esta versão do programa foi a base para as aulas de FMA204 que foram ministradas no segundo semestre de 2011, bem como para as aulas de FMA307 que foram ministradas no primeiro semestre de 2012. Há certamente vários defeitos e várias pequenas lacunas que pretendo corrigir ao longo do desenvolvimento continuado do curso. Das cinco partes em que se divide atualmente o programa abaixo, a disciplina FMA204 consiste das três primeiras. As partes subsequentes são utilizadas na disciplina FMA307.

Cálculo Complexo (aulas 01-16):

Sinopses das aulas:
: 01(PS) 01(PDF) : 02(PS) 02(PDF) : 03(PS) 03(PDF) : 04(PS) 04(PDF) : 05(PS) 05(PDF) : 06(PS) 06(PDF) :
: 07(PS) 07(PDF) : 08(PS) 08(PDF) : 09(PS) 09(PDF) : 10(PS) 10(PDF) : 11(PS) 11(PDF) : 12(PS) 12(PDF) :
: 13(PS) 13(PDF) : 14(PS) 14(PDF) : 15(PS) 15(PDF) : 16(PS) 16(PDF) :

Todo o desenvolvimento é baseado na analogia com campos vetoriais e com a eletrostática, enfatizando interpretações e demonstrações de caráter geométrico. A abordagem é algorítmica e enfatiza a representação de funções por séries.

• Números inteiros, racionais, reais e complexos.
• Números complexos como vetores bidimensionais; representação polar.
• Aritmética dos números complexos; funções complexas.
• Discussão de algumas funções elementares e de suas inversas.
• Algumas funções menos elementares; funções com múltiplos valores.
• Pontos de ramificação, cortes, folhas e superfícies de Riemann.
• A função gama, fatoriais e o processo de extensão analítica.
• Aproximação assintótica e fórmula de Stirling para fatoriais.
• Transformações conformes, geometria e aplicações físicas.
• Cálculo de efeitos de bordas em capacitores eletrostáticos.
• Condições de Cauchy-Riemann; funções analíticas.
• Funções harmônicas e relação com a eletrostática bidimensional.
• Derivada de uma função complexa e analiticidade.
• Diferenciabilidade; interpretação geométrica em termos vetoriais.
• Integral de uma função complexa: integrais de linha.
• Os teoremas de Green e Stokes, e o teorema de Cauchy-Goursat.
• Definição e existência da primitiva de uma função complexa.
• Domínios de integração multiplamente conexos.
• Fórmula integral de Cauchy; representação integral das derivadas.
• Analiticidade das derivadas; analiticidade da primitiva.
• Módulos complexos e relações de desigualdade.
• Teoremas do módulo máximo e de Liouville.
• Soma de uma PG complexa e série de Taylor de uma função complexa.
• Representação da função pela série, dentro do disco de convergência.
• Convergência, convergência absoluta e convergência uniforme.
• Demonstrações dos principais critérios de convergência.
• Toda série convergente é a série de Taylor de alguma função.
• Singularidades e a série de Laurent de uma função analítica.
• Resíduos de funções analíticas em suas singularidades.
• Métodos de cálculo de resíduos; tipos de singularidades.
• O teorema de resíduos e o cálculo de certas integrais.

Alguns pontos centrais desta seção:

• Funções como vetores num espaço vetorial.
• Séries de potências como representações fiéis de funções.
• Interpretação geométrica e relação com o cálculo vetorial.

Itens omitidos ou insuficientemente abordados:

• Expansões assintóticas, método do ponto de sela.

Transformadas de Fourier (aulas 17-26):

Sinopses das aulas:
: 01(PS) 01(PDF) : 02(PS) 02(PDF) : 03(PS) 03(PDF) : 04(PS) 04(PDF) : 05(PS) 05(PDF) : 06(PS) 06(PDF) :
: 07(PS) 07(PDF) : 08(PS) 08(PDF) : 09(PS) 09(PDF) : 10(PS) 10(PDF) :

Todo o desenvolvimento é baseado na definição inicial de transformadas de Fourier finitas numa rede, e na tomada posterior de limites do contínuo, no espírito da definição da integral de Riemann, unificando assim o tratamento de séries e transformadas de Fourier no contínuo.

• Funções periódicas num intervalo finito.
• Funções em uma rede discreta finita de N pontos.
• Limite de N infinito e subconjuntos densos do contínuo.
• Limitações das funções representáveis na rede.
• Funções seccionalmente contínuas.
• Fases complexas e a base de Fourier.
• Relações de ortogonalidade e completicidade.
• Funções na rede como um espaço vetorial.
• Expansão de Fourier e componentes de Fourier.
• Escolha de coordenadas no espaço de momentos.
• Componentes independentes de uma função real; modos reais.
• Versão explicitamente real da expansão de Fourier.
• Transformadas em redes discretas multidimensionais.
• Limite do contínuo dentro de um intervalo finito.
• Série de Fourier e componentes de Fourier de uma função.
• Relações de ortogonalidade e completicidade; delta de Dirac.
• Condições de contorno fixas de Dirichlet e de Neumann.
• Séries de senos de Fourier e de cossenos de Fourier.
• Teorema de Fourier e condições de convergência.
• Convergência ponto-a-ponto, absoluta e uniforme.
• Integração e diferenciação de séries termo-a-termo.
• Caracterização de convergência e o filtro passa-baixas.
• Critérios de convergência baseados nos coeficientes.
• Uma representação da convergência no plano complexo.
• Demonstração de um teorema de convergência; generalizações.
• Limite do contínuo para a reta real completa.
• Transformada de Fourier em sua versão complexa.
• Regularização de integrais assintóticas sobre a reta real.

Alguns pontos centrais desta seção:

• Funções como vetores num espaço vetorial.
• Expansão em termos de uma base do espaço vetorial.
• Definição através de limites a partir de sistemas discretos.
• Limites de contínuo e manipulação de quantidades divergentes.
• A questão de convergência no contínuo.

Itens omitidos ou insuficientemente abordados:

• Transformadas de Laplace e o problema de inversão.

Equações Diferenciais Parciais (aulas 27-38):

Sinopses das aulas:
: 01(PS) 01(PDF) : 02(PS) 02(PDF) : 03(PS) 03(PDF) : 04(PS) 04(PDF) : 05(PS) 05(PDF) : 06(PS) 06(PDF) :
: 07(PS) 07(PDF) : 08(PS) 08(PDF) : 09(PS) 09(PDF) : 10(PS) 10(PDF) : 11(PS) 11(PDF) : 12(PS) 12(PDF) :

A abordagem é prática e usa a comparação de métodos geométricos e analíticos como uma forma de compreender estes últimos. As principais equações diferenciais parciais da física são apresentadas, como um estudo de problemas em sistemas físicos com um número infinito de graus de liberdade. O desenvolvimento é limitado a coordenadas cartesianas.

• Equações diferenciais ordinárias homogêneas e não-homogêneas.
• Revisão de métodos de solução, incluindo o numérico.
• Sistemas oscilantes acoplados no limite de N infinito.
• Equações diferenciais parciais e condições de contorno.
• Equação de ondas unidimensional: a corda vibrante.
• Solução geral da equação de ondas, geometria e superposição.
• Condições iniciais e de contorno: a corda pinçada.
• Resolução da equação de ondas com transformadas de Fourier.
• Resolução da corda pinçada através de séries de Fourier.
• Separação de variáveis em equações diferenciais parciais.
• Representação de Fourier da solução do problema.
• Análise completa da solução da corda pinçada.
• Controle de singularidades com o filtro passa-baixas.
• O teorema do divergente e a equação de continuidade.
• Difusão linear em um meio e a equação de difusão.
• Exemplos básicos de problemas de difusão de calor.
• Uma versão complexa da equação: a equação de Schrödinger.
• Banhos térmicos e condições de contorno fixas de Dirichlet.
• Problemas de relaxamento térmico e de condução de calor.
• Sistemas com isolamento térmico e condições de Neumann.
• O Laplaciano e a equação de Laplace; a eletrostática.
• O Laplaciano em coordenadas cilíndricas e esféricas.
• Versão discreta do Laplaciano: o método de relaxação.
• A base de Fourier: conjunto de autofunções do Laplaciano.
• Exemplo de problema de eletrostática: base hiperbólica.
• Exemplos de equações diferenciais parciais não-homogêneas.
• A função de Green de um problema de condições de contorno.
• Exemplo de mecânica quântica: estados e operadores.

Alguns pontos centrais desta seção:

• Relação com problemas de muitos corpos e discretização.
• Resolução de equações ordinárias através de séries de funções.
• Os principais tipos de equações diferenciais parciais da Física.

Funções Especiais: Funções de Bessel (aulas 39-52):

Sinopses das aulas:
: 01(PS) 01(PDF) : 02(PS) 02(PDF) : 03(PS) 03(PDF) : 04(PS) 04(PDF) : 05(PS) 05(PDF) : 06(PS) 06(PDF) :
: 07(PS) 07(PDF) : 08(PS) 08(PDF) : 09(PS) 09(PDF) : 10(PS) 10(PDF) : 11(PS) 11(PDF) : 12(PS) 12(PDF) :
: 13(PS) 13(PDF) : 14(PS) 14(PDF) :

A abordagem é prática, enfatizando os aspectos estruturais da matemática. Ela tem como um objetivo importante iniciar os alunos nas ferramentas matemáticas necessárias nos cursos posteriores de Eletromagnetismo e Mecânica Quântica. São estudados problemas em coordenadas esféricas e cilíndricas, com ênfase no caso cilíndrico. O desenvolvimento é centrado principalmente nas soluções de primeira espécie, ou seja, nas soluções regulares em todo o domínio, mas é feito também um tratamento curto das soluções de segunda espécie.

• A equação de difusão em duas ou mais dimensões.
• A equação de difusão em coordenadas esféricas.
• O problema de resfriamento da esfera homogênea.
• As funções de Bessel esféricas de ordem zero j_0 e y_0.
• A equação de difusão em coordenadas cilíndricas.
• O problema de resfriamento do cilindro homogêneo.
• As funções de Bessel cilíndricas de ordem zero J_0 e Y_0.
• Construção de um conjunto ortogonal e completo de funções.
• Dependências angulares e a equação cilíndrica geral de Bessel.
• Relação entre as funções e equações cilíndricas e esféricas.
• Condução transversal de calor num cilindro.
• A solução geral expressa como uma série de potências.
• Principais propriedades das funções de Bessel cilíndricas.
• Dedução das relações de ortogonalidade e normalização.
• Exemplo em eletrodinâmica: o capacitor cilíndrico quase infinito.
• A equação de ondas bidimensional: a membrana circular.
• O problema do tambor e as funções de Bessel de ordem n.
• Dependências angulares e modos normais de vibração.
• Estudo das funções de Bessel de segunda espécie.
• Difusão em cascas esféricas e cilíndricas.
• Papel e utilização das funções de segunda espécie.
• A função de Green no caso de coordenadas cilíndricas.

Alguns pontos centrais desta seção:

• Generalização dos conceitos e técnicas para alguns casos importantes.
• Interpretações físicas de algumas funções especiais importantes.
• Utilização dos conceitos de operador diferencial e de autovetores.

Funções Especiais: Harmônicos Esféricos (aulas 53-65):

Sinopses das aulas:
: 01(PS) 01(PDF) : 02(PS) 02(PDF) : 03(PS) 03(PDF) : 04(PS) 04(PDF) : 05(PS) 05(PDF) : 06(PS) 06(PDF) :
: 07(PS) 07(PDF) : 08(PS) 08(PDF) : 09(PS) 09(PDF) : 10(PS) 10(PDF) : 11(PS) 11(PDF) : 12(PS) 12(PDF) :
: 13(PS) 13(PDF) :

Mais uma vez a abordagem é prática, enfatizando os aspectos estruturais da matemática. Continua aqui o trabalho com o objetivo iniciar os alunos nas ferramentas matemáticas necessárias nos cursos posteriores de Eletromagnetismo e Mecânica Quântica. São estudados problemas mais complexos em coordenadas esféricas. O desenvolvimento é centrado principalmente nas soluções de primeira espécie, ou seja, nas soluções regulares em todo o domínio.

• Resfriamento da esfera: equação e polinômios de Legendre.
• Resolução através de uma série e relações de recorrência.
• Relação com a base de Taylor: ortogonalidade e completicidade.
• Demonstração geral da ortogonalidade dos polinômios.
• Função geratriz e a norma dos polinômios de Legendre.
• Demonstração formal completa de completicidade.
• Expansão de funções em termos dos polinômios de Legendre.
• Condução estacionária polar de calor na esfera.
• Processos de relaxamento térmico polar na esfera.
• Condições de contorno e resolução da parte angular.
• Problema do potencial elétrico em coordenadas esféricas.
• A solução no exterior da esfera e a expansão em multipolos.
• Funções associadas de Legendre; dedução e propriedades.
• Harmônicos esféricos e harmônicos de superfície.
• A bolha hemisférica e os harmônicos de superfície.
• A função de Green no caso de coordenadas esféricas.

Alguns pontos centrais desta seção:

• Generalização dos conceitos e técnicas para alguns casos importantes.
• Interpretações físicas de algumas funções especiais importantes.
• Utilização dos conceitos de operador diferencial e de autovetores.

Itens omitidos ou insuficientemente abordados:

• Estudo completo de um problema de relaxamento térmico na esfera.
• Discussão das funções de Legendre de segunda espécie.

JLdL 03Aug17