Simetrias Discretas

Outro aspecto interessante a ser discutido é a questão das simetrias discretas. Para fazer esta análise, vamos considerar a $QED_3$ com a inserção de um termo de Chern-Simons, na representação de Dirac de menor dimensionalidade para as matrizes gama.

A transformação de paridade em $(2+1)$ dimensões tem que ser redefinida, uma vez que a usual, levando $\vec{x}$ em $-\vec{x}$, corresponde no plano a uma rotação. Assim, esta transformação deve ser tal que somente uma das componentes espaciais se altere. Neste caso, podemos escolher, sem perda de generalidade, por exemplo,

$$x_1 \rightarrow - x_1, \qquad x_2 \rightarrow x_2.$$ (2.55)

Para garantir que o termo cinético mude no máximo por um sinal, fazemos com que $A_1$ seja a única componente do campo de calibre que se altera nesta transformação e consequentemente, pode-se facilmente demonstrar que, sob esta transformação, o termo de Chern-Simons muda de sinal. Já o campo $\psi$ transforma-se sob paridade como:

$$\psi (x_1,x_2,t) \rightarrow \gamma^1 \psi (-x_1,x_2,t),$$ (2.56)

alterando assim o sinal do termo de massa para o campo fermiônico. Sob inversão temporal, tanto o termo de Chern-Simons quanto o termo de massa para o campo fermiônico mudam de sinal, já que, neste caso, $\vec{A} \rightarrow - \vec{A}$ e $\psi \rightarrow \gamma^2 \psi$. Somente a transformação de carga, expressa por:

$$(\gamma^{\mu})^T = - C^{-1} \gamma^{\mu} C,$$ (2.57)

mantém a lagrangiana ${\cal L}_T$ invariante. Podemos concluir daí que o termo de Chern-Simons e o termo de massa do campo fermiônico estão relacionados entre si. Uma consequência disso é que em uma análise perturbativa, correções radiativas para o termo de Chern-Simons podem ser geradas a partir do termo de massa fermiônico e vice-versa.